ства: .l/c > n., отсюда получаем

..>,nnc
…..>….sin0.nl

l….cСобственные частоты в уравнении sin(.l/c) = 0 соответствуют
стреж
И в пропоро час-
.+..=….200,.=20.KM
тоте и, конечно, на высоких частотах наличие массы на конце
стрежня становится эквивалентом его жесткого закрепления.
Если в рассмотренной механической системе пренебречь массой
стержня, то движение массы М будет описываться простым уравне-
нием []..()(,)tult:
(6.259)
.
Для нахождения собственной частоты такой системы нужно опреде-
лить жесткость безмассового стержня К. Если стержень растянут на
вели
достика.=20.ESlM
=.FESl
(6.260)
Отсюда очевидно, что жесткость стрежня равняется K = ES/l. Таким
образом, собственная частота системы без учет
на
Первый корень уравнения (6.257
р
()ctg……………..
1….
/345lllclccc
(6.262)
Тогда (6.257) преобразуется к виду
……..=…..
222011….l
Вх следует
тотой .0. В первом приближени
но получить, заменяя в скобках значение . на .0 и ограничива-
ясь лишь первыми двумя слагаемыми. При этом получим

……….=..=…………..
222200011,33mlcM
(6.264)
здесь m = lS. — масса стержня.
приближенная формула может иравки к частоте при m/M << 1. Наприм
стержня изменяет собственную частоту сист
10 %. Важнымдля понимания роли дополнительной мас-
сы является и знак поправки. Учет массы стержня приводит к
уменьшению собственной частоты.
6.21. Изгибные волны в стержне
6.21.1. Характер нагрузки и деформации
Вторым типом движения в стержне будут поперечные
волновые движения. Рассмотренная в третьем разделе струна пред-
ставляет собой достаточно идеализированную систему, в которой
восстановительная сила обусловлена исключительно наличием пред-
варительного натяжения. Опыт работы с реальными струнами указы-
вает на присущую им способность восстанавливать положение рав-
новесия за счет свойств упругости материала. Еслидля
вкл
ад собственной упругости в восстанавливающую силу во многих
случаях пренебрежимо мал, то для большого количества упругих
систем это не так. Линейка, ножка камертона, дерево, которые сги-
бается под действием ветра за окном, — лишь бесконечно малая
часть того перечня колебательных систем, которые после прекраще-
ния действия нагрузки полностью восстанавливают свою форму
благодаря внутренним свойствам упругости.
Итак, объектом анализа снова является упругий стержень. Как и в
параграфе 6.19, считаем, что характерный размер поперечного сече-
ния значительно меньше длины стержня. Для конкретизации рассуж-
дений будем рассматривать случай стержня прямоугольного попереч-
ног
о сечения (рис. 6.34). Система координат выбрана на рис. 6.34
так, что ось Ох совпадает с линией центров поперечного сечения
стержня, а оси Оу и Oz есть его оси симметрии. Отметим, что полу-
ченные при рассмотрении данного стержня специальные соотноше-
ния справедливы для стержней любой формы поперечного сечения,
есл в качестве осей Оу и Oz выбрать так называ
и

. 6.34. Элемент стрежня
Рис. 6.35. Силовые воздействия в
стержне
В данном случае также будем рассматривать специальные типы
воздействия. Если говорить о силовых воздействиях, то они могут
прикладываться как к торцу, так и к боковым поверхностям стерж-
ня. Что касается нагрузки на торце, то возбуждение колеба
мл —слоноьными
н ка.xy(.3тноси-
xxxx
.=.
()
0,xxSdS .=.
()
,xxSydSM .=.
()
.xySdSQ (6.265)
Величины М и Q называются соответственно изгибающим моментом
и перерезывающей силой. Здесь мы вычислили изгибающий момент и
перерезывающую силу по данным нап
олагао норяжения
….
.=(,,);xxzxytI
=.2()
,zSIydS …=…
……..
..
..
23(,,),
2432xyxytyhb
(6.266)
где Iz — момент инерции поперечного сечения стержня относительно
оси Oz. Эти соотношения выражают суть гипотезы о характере рас-
пределения напряжений в стержне при изгибе. В частности предпола-
гается равномерное распределение нормальных и кас

жений по координате z. Такие предположения являются доста-
чными для описания волновых процессов, если длина волны
велика по сравнению с размером поперечного сечения.
Что касается внешнего воздействия, действующего на плоскостях
=±/2yh, то он
д

Рис. 6.36. Деформированный элемент стержня
Сделанные предположения относительно характера нагрузки на
стержень и распределения напряжений в его поперечном сечении ес-
тественно ограничивают типы движения в нем, но эти допущения
являются первым существенным шагом на пути к тому, чтобы трех-
мерную задачу свести к одномерной. Для того чтобы достичь этой
цели, предположения о силовых факторах задачи должны быть до-
полнены предположением о характере движения точек стержня при
деформации. Считаем, что в процессе деформации, которая возни-
кает при сгибе, все точки стержня двигаются параллельно
ения стержня; сечения, которые до деформации были перпенди-
кулярны к его оси, остаются плоскими и
смещенной оси после деформации (рис. 6.36).
(x,y,z,t)
Если представить вектор смещений в виде компопроизвольной точки Р стержня (см. рис. 6.34)
UP(x,y,z,t) = iu+jw+kv,
то сформулированное предположение будет иметь
v = 0, w(x,y,z,t) = w(x,t),
u(x,y,z,t)

В поского
с

.
.=tgw. (6.269)
Д пораем по-
л
.
.=.=
.
tg,wx
.
=.
.
.wuyx
(6.270)
Таким образом, зная смещение точек оси стержня
о
движение всех точек поперечного сечения, и рассмхмерная задача сводится к одномерной.
6.21.2. Уравнение движения элемента стрежня
Уравнение движения элемента стержня, взятого в проек-
ции на ось Оу, получим на основе второго закона Ньютона. Все дей-
ствующие на элемент силовые факторы приведены на рис. 6.37. На-
правление действия моментов и перерезывающих сил выбирается со-
гласно правилу знаков для внутренних напряжений. Напомним, что
нормальные напряжения считаются положительными, если они явля-
ются напряжениями растяжения; знак касательных напряжений оп-
ределяется соответствием направлений нормали к площадке и коор-
динатной оси. Если нормаль к площадке совпадает с направлением
оси Ох, то касательные напряжения считаются положительными и
направленными вдоль оси Оу. Когда нормал
ь к площадке противопо-
ложна оси Ох, положительным считается касательное напряжение,
направленное против оси Оу (см. рис. 6.37).
Поскольку нормальные напря
м

.
.=+.+
2()()(,),wSdxQxdxQxqxtdx (6.271)
ц..
.=+
..
22(,)wQSqxt

Рис. 6.37. Силовые воздействия, оказывающие влияние на элемент стержня

Это уравнение связывает две неизвестные функции: и
и поэтому непосредственно не может быть использовано для
изучения волновых процессов в стержне. Чтобы получить необходи-
мое уравнение, необходимо выразить перерезывающую силу через
смещение точек оси стержня. Сделаем это в два этапа. Прежде всего,
обратим внимание на то, что, кроме смещения вдоль оси Оу, точки
стержня принимают участие в определенных вращательных движе-
ниях и, следовательно, при описании движения нужно учитывать не