действием произвольных сил, которые действуют на нее, все три ко-
. Мандельштам Леонид Исаакович (1879—1944) — российский физик,
академик АН СССР (1929).

ординаты будут изменяться как функции времени. Этот факт в ди-
намике твердого тела описывают, вводя понятие степеней свободы
механической системы. Материальная точка вообще имеет три степе-
ни свободы. Сначала рассмотрим такие случаи, когда для описания
движения в системе достаточно знать лишь одну функцию времени,
т.е. когда система имеет одну степень свободы; в данном разделе не
учитываем потери энергии в колебательной системе.

Рис. 2.1. Примеры колебательных систем с одной степенью свободы

Такое предположение, конечно, накладывает ограничения на си-
лы, которые действуют на материальную точку, — они не должны при-
водить к другим типам движения. Кроме того, для возникновения оп-
ределенного движения системы, которое определяется как колебание,
в системе должны действовать специфические силы. При некотором
определенном положении системы эти силы равны нулю. Такое поло-
жение называется равновесным. При любом другом положении мате-
риальной точки на нее должна действовать сила, которая стремится
возвратить систему в равновесное состояние. Подобную за природой
действия силу называют восстанавливающей. Простейшая модель
системы, которая создает такую силу, есть идеально упругая пружина,

один конец которой закреплен, а к другому приложена масса. Схема-
тично такая система приведена на рис. 2.1, а. Равновесное положе-
ние отвечает точке x = 0.
В отличие от любой реальной пружины идеальная, которую мы
помещаем в систему, лишена массы. Кроме того, для растяжения или
сжатия идеальной пружины на любую величину ()x необходимо при-
ложить силу, прямо пропорциональную этому смещению:
.xFK=. (2.1)
Здесь — характеристика пружины, которая называется жестко-
стью, Н/м.
K
При рассмотрении колебательных систем используется также ве-
личина, обратная к жесткости, которая называется податливостью:
s = 1/K.
Соотношение (2.1) отражает важное предположение о свойствах
пружины. Интуитивно понятно, что поведение идеальной пружины
приближается к поведению реальной пружины лишь в случае относи-
тельно небольших отклонений от положения равновесия. Движение
системы при таких ограничениях определяет малые колебания близи
положения равновесия.
Итак, мы начали использовать такие понятия, как большое и малое
отклонение от положения равновесия. Для более полного понимания
следует все время придерживаться такого правила: как только в тек-
сте появились понятия “большой” и “малый”, необходимо выяснить,
что с чем сравнивается и какой выбран масштаб для измерения этой
величины. При этом удается избежать принципиальных ошибок, ко-
торые возможны в процессе построения моделей реальных систем и
качественного анализа особенностей их поведения.
В качестве примера системы с одной степенью свободы рассмот-
рим систему, приведенную на рис. 2.1, а. Если характерной особен-
ностью этой системы считать то, что для описания движения в ней
достаточно задать лишь одну функцию x(t), то легко можно указать
ряд систем, аналогичных по свойствам. На рис. 2.1, б изображена
система с жестким диском, который характеризуется некоторым мо-
ментом инерции относительно вертикальной оси, проходящей через
точку O, и идеально упругим стрежнем заданной длины с крутильной
жесткостью G. Итак, для закручивания стрежня на некоторый угол .
необходим крутильный момент
,MG=.. (2.2)
где размерность G, Н . м. В такой системе возможно движение, кото-
рое полностью определяется заданием угла закручивания как функ-
ции времени.

На рис. 2.1, в жидкость плотности . заполняет U-образную трубку;
полная длина столба жидкости равняется l. Жидкость в трубке
колеблется вокруг положение равновесия, для которого высота уровня
жидкости одинакова в обоих коленах. Движение жидкости
характеризуется величиной изменения уровня в коленах x(t)
относительно положения равновесия x = 0, а восстанавливающая сила
определяется разностью давления на некотором горизонтальном
уровне в коленах трубки.
На рис. 2.1, г приведена колебательная система, представляющая
собой открытую колбу объемом V с шейкой длиной l и площадью
поперечного сечения S. Колба заполнена воздухом плотности .. Под
действием звуковой волны на воздух в шейке колбы возникают
колебания. В случае малых размеров сосуда по сравнению с длиной
звуковой волны, воздух в объеме V ведет себя, как некоторая
пружина, а воздух в шейке колбы движется, как некоторая масса.
Итак, возможное движение в такой системе полностью определяется
координатой x(t) перемещения “воздушной пробки” в шейке колбы.
Тогда восстанавливающая сила в такой системе будет определяться
силой упругости, возникающей при изменении объема V воздуха
внутри колбы.
Движение математического маятника, приведенное на рис. 2.1, д,
полностью описывается заданием функции .(t). Здесь следует лишь
подчеркнуть, что источник восстанавливающей силы (земное тяготе-
ние) не идеализируется в такой мере, как в рассмотренных раньше
системах. И это сразу сказывается на зависимости восстанавливаю-
щей силы от координаты ., что будет разъяснено далее в тексте.
По аналогии с рассмотренными механическими системами ведет
себя и электрический контур (рис. 2.1, е). Контур состоит из таких
модельных элементов как сосредоточенные катушка индуктивности,
конденсатор и идеальные проводники. Для полного описания состоя-
ния такого электрического контура достаточно задать изменение во
времени величины q(t), характеризующей заряд конденсатора.
Как видно из приведенных примеров, физическая суть величин,
описывающих движение системы с одной степенью свободы, может
быть разной. Собственно поэтому эти величины называют обобщен-
ными координатами.
2.1.2. Уравнения свободного движения в системе
с одной степенью свободы
При рассмотрении особенностей движения систем указан-
ного типа первой задачей является задача об определении характери-
стик свободного движения систем. При этом имеется ввиду такая си-
туация: под действием некоторого внешнего воздействия система вы-
водится из положения равновесия и далее она имеет возможность

. Ньютон (Newton) Исаак (1643—1727) — английский физик, механик, ас-
троном и математик.
. Кирхгофф (Kirchhoff) Густав Роберт (1824—1887) — немецкий физик.
двигаться свободно. Для полного и однозначного определения даль-
нейшего движения системы результат внешнего влияния описывается
той же функцией, что и движение системы. Поскольку такой функци-
ей является обобщенная координата, то первоначальное внешнее
влияние конкретизируется заданием начального значения обобщен-
ной координаты и скорости ее изменения, а именно, обобщенной ско-
рости.
Для получения соотношений, которые дают возможность опреде-
лить изменение обобщенных координат с течением времени при за-
данных начальных условиях, используются физические законы. Что-