Вернемся к рассмотренной выше задаче о падении плоской волны
на свободную границу полупространства, и под другим углом зрения
посмотрим на полученные решения (6.138), (6.139) и (6.152), (6.153).
Они являются решениями соответствующих алгебраических систем
уравнений (6.136), (6.137) и (6.150), (6.151). Если определитель этих
систем (а он одинаков для обеих систем (6.136), (6.137) и (6.150),
(6.151)) приравнять к нулю, то будем иметь выражение, которое стоит
в знаменателе решений (6.138), (6.139) и (6.152), (6.153). Итак, при
условии равенства нулю определителя, а отсюда и знаменателя реше-
ний, будем иметь бесконечные значения коэффициентов отражения,
т.е. бесконечный рост амплитуд отраженных волн. Проводя паралле-
ли с исследованием колебательной системы с двумя степенями свобо-
ды, можно считать, что нахождение корней уравнения в виде равно-
го нулю определителя означает исследование собственных волновых
движений полупространства со свободной границей.
Проведем такое исследование. Приравнивая нулю знаменатель в
указанных выше решениях, записываем такое уравнение:
..+.=22224(2)ettkkk (6.165)
Несколько преобразуем это уравнение. Принимая во внимание, что
.=.22,eekk .=t.22,tkk делим (6.165) на k4 и освобождаемся от
радикалов. Тогда получим

……….=.+…=……………………
64222222()82411613ttetettkkkkkRkkkkkk. (6.166)
Выражение (6.166) можно рассматривать как уравнение относитель-
но компоненты волнового вектора вдоль границы. Поскольку k = ./c,
ke = ./ce, kt = ./ct, то (6.166) можно переписать как уравнение для
фазовой скорости волнового процесса вдоль границы: c

……….
=.+…=……………………
64222222()82411613ttttteecccccRcccccc. (6.167)
Это уравнение относительно величины c/ct имеет единственный дей-
ствительный корень, который лежит между 0 и 1. Действительно, под-
ставляя вместо c/ct нуль, получаем отрицательное число; подставляя
вместо c/ct единицу, получаем положительное число. Т.е., между ну-
лем и единицей должен быть искомый корень. (Можно провести стро-
гое доказательство существования и единственности корня на ука-
занном интервале.) В качестве примера на рис. 6.17 приведен гра-
фик функции R(c/ct) на отрезке [0,1] при значении коэффициента
Пуассона . = 0,3 (здесь .22/tecn ). Видно, что существует един-
ственный корень c = cR.
0,286

Рис. 6.17. График функции R(с/сt) при . = 0,3

Каков физический смысл полученного решения? Поскольку cR < ct,
а, значит, и cR < ce, то исследуемая бегущая волна вдоль границы
распространяется медленнее, чем поперечная и продольная волны.
Иначе, величина kR = ./cR больше волновых чисел Р- и SV-волн
(kR > kt, kR > ke). Таким образом, Р- и SV-волны в этом случае являются
неоднородными.
Итак, звуковое поле в полупространстве можно представить как
совокупность двух неоднородных волн: одна — продольного типа и
вторая — поперечного. Эти волны распространяются вдоль границы с
фазовой скоростью cR и затухают в направлении от границы в глуби-
ну полупространства (вдоль оси Ox3).

Запишем выражения для векторов смещений в неоднородных Р- и
SV-волнах. Обозначим
.=.22eeR()=.=.22RReeikki, ().=.=.=.2222RttRRttkkikki (6.168)
(поскольку kR > kt, kR > ke). Из однородной системы (6.150), (6.151) (в
правой части уравнений имеем нули, поскольку падающей волны нет)
получим связь между амплитудами волн. Так, из уравнения (6.150)
имеем

().=
.2222RRetttteeRtikkVVkkk. (6.169)
Выражение для неоднородных волн получим из формул (6.148),
(6.149) для однородных SV- и Р-волн с учетом новых обозначений и
формулы (6.169):
()(…..=+=.+…
..
()()()
1313113expReeReReReeikuuVikxxkk3ueeee, (6.170)
()()()()……=+=++……
()()
1313113222exp2RRRtttRetRtRttteRtiikkkuuVikxxkkkkkueeee,
(6.171)
здесь V — постоянная; напомним, что в полупространстве координа-
ты отрицательные, поэтому при распространении волн в глубину
полупространства амплитуды уменьшаются.
3x
Подставив суперпозицию волн (6.170) и (6.171) u = ue + ut в гра-
ничные условия (6.134), (6.135), можно убедиться, что они выполня-
ются (рекомендуем провести эти преобразования). Итак, суперпози-
ция неоднородных волн продольного и поперечного типов действи-
тельно делает свободной от напряжения границу полупространства.
Следует отметить, что уравнение (6.167) имеет другие действи-
тельные и комплексные корни, которые определяют разные комби-
нации продольных и поперечных волн, обусловливающие нулевое зна-
чение напряжения на границе. Но решение в виде поверхностной
волны одно и соответствует действительному корню cR < ct.
Итак, полученное поле можно интерпретировать как самостоя-
тельную поверхностную волну сложной структуры, которая может
существовать в твердом теле (подобно тому, как мы определяли нор-
мальные колебания в системе с двумя степенями свободы). Впервые
существование поверхностных волн в твердом теле предсказал Рэлей

в 1885 г. Поэтому эту поверхностную волну называют рэлееськой
волной (или волной Рэлея), а уравнение (6.160) — уравнением Рэлея.

Рис. 6.18. Зависимость относительной скорости рэлеевськой волны от ко-
эффициента Пуассона среды

Таким образом, рэлеевська волна распространяется вдоль грани-
цы с фазовой скоростью cR = ./kR, которая меньше скорости попе-
речной волны ct. Важно отметить, что коэффициенты уравнения
(6.167) не зависят от частоты, а, следовательно, и фазовая скорость cR
волны Рэлея не зависит от частоты, т.е. волна Релея распространяется
без дисперсии (произвольный импульс возбуждения сохраняет свою
форму при распространении). Значение cR зависит от коэффициента
Пуассона среды . и монотонно изменяется от 0,87ct при . = 0 до
0,96ct при . = 0,5 (рис. 6.18).
Можно получить приближенную формулу для вычисления скоро-
сти волны Рэлея. Для этого, поделив исходное дисперсионное уравне-
ние (6.165) на k4 и учитывая то, что справедливы неравенства kR > kt,
kR > ke, перепишем его в виде
….+.=
22222411(2)0,sssq
(6.172)
где s = kt/k = c/ct, Возьмем в качестве начального при-
ближения c = ct. Тогда искомое значение с представим в виде выра-
жения, которое учитывает только линейные по отклонению с от ct сла-
гаемые, именно: c = ct(1 – .), откуда s = 1 – ..
=222/.etqcc
Подставим s = 1 – . в уравнение (6.172), потом возведем его в
квадрат и, учитывая только линейные члены по ., придем к уравне-
нию ()..+=228430qq(.=.
. С учетом формулы (6.140), определяем вели-
чину поправки )()..+….1/81. Подставляя это значение . в вы-

бранное приближение для скорости c = ct(1 – .), получаем удобную
формулу для вычисления скорости волны Рэлея:

+.+
.=
+.+.790,8751,125.8(1)1Rtcc
(6.173)
Сравнение значений, полученных согласно формуле (6.173), с точным
решением уравнения (6.160) свидетельствует, что погрешность ап-
проксимации не превышает 0,5 %.
Анализируя кинематику движения в поверхностной волне Рэлея,
записываем выражения для компонентов вектора смещения