иметь высокую степень адекватности по частотам и формам колеба-
ний, но будет, очевидно, совсем неадекватной по затуханию колеба-
ний.
Если только исходить из требований адекватности, то сложные
модели лучше простых. Действительно, с одной стороны, сложная мо-
дель позволяет учесть больше факторов, которые так или иначе будут
влиять на изучение характеристик объекта. С другой стороны, учет
большого числа параметров, которые характеризуют объект, может
привести к громоздким уравнениям, которые не поддаются исследо-
ванию. И это справедливо даже при наличии мощных ЭВМ. Можно
привести много примеров, когда, полагаясь только на мощности ЭВМ
без вдумчивой разработки математической модели, исследователь
сталкивался с непреодолимыми трудностями.
Таким образом, мы приходим к требованию достаточной просто-
ты модели относительно выбранной системы характеристик, кото-
рая в некоторой степени противоположна требованию адекватности.
Итак, вместе с наличием адекватности, модель должна быть достаточ-
но простой, чтобы можно было с необходимой точностью провести ка-

. Неймарк Ю.И. Математические модели в естествознании и технике. – Н.
Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского,
2004. – 401 с.
.. Эйнштейн (Einstein) Альберт (1879—1955) — немецкий физик, лауреат
Нобелевской премии (1922).
… Каганов М.И., Любарский Г.Я. Абстракция в математике и физике. —
М.: Физматлит, 2005. — 352 с.
чественный или количественный анализ характеристик объекта и ос-
мыслить результат.
Подводя итог короткому рассказу о математическом моделирова-
нии приведем несколько общих соображений, которые не могут слу-
жить непосредственным указанием к действию, они лишь дают ра-
зумные подсказки, как и что, следует делать [., с. 330].
“1. Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выво-
дов.
2. Модель должна быть простой, насколько это возможно, но не
проще.
3. Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это по-
влияет на решение.
4. Модель должна быть грубой: малые поправки не должны карди-
нально менять ее поведение.
5. Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.
6. При анализе результатов исследования модели важны не только
конкретные численные результаты, но и понимание того, почему
и как все происходит и как все это зависит от параметров”.
Одной из загадок науки Эйнштейн.. считал возможность исследо-
вания природы с помощью математики. Соглашаясь с мыслью велико-
го ученого, мы в начале раздела говорили о чрезвычайной плодотвор-
ности математического моделирования. Желая еще раз подчеркнуть
важность этого положения, приведем отрывок из книги [..., с. 344,
346], содержание которой направлено на то, чтобы показать, что по-
строение математических моделей — это одна из движущих сил науки.
Заметим, что авторы используют термин абстракция. Согласно Эн-
циклопедическому словарю (М., Советская энциклопедия, 1989), “аб-
стракция (от латинского слова abstractio – отвлечение) – форма позна-
ния, основанная на мысленном выделении существенных свойств и
связей предмета и отвлечении от других, частных его свойств и свя-
зей…” Понятно, что процесс абстрагирования является основой при
построении математической модели.
“Часто подчеркивают единство природы. Все связано со всем. К
счастью, это не конструктивная формула. Явления, тела, разнообраз-
ные типы движений естественным образом вычленяются из общей
массы. Это свойство мира, в котором мы существуем, представляет

собой необходимое условие возможности его изучения. Невозможно
было бы исследовать явления природы, если бы каждое из них зависе-
ло от всех остальных. Само понятие явление предполагает выделен-
ность из всего происходящего.
Познаваемым делает мир абстрагирование. Возможность абстра-
гирования — одно из свойств нашего Мира.
Сравнение чисел, полученных на основе теории, с числами, добы-
тыми экспериментальным путем, есть основной этап, без которого не-
возможно выяснить, понимаем ли мы природу.
Природа учит абстрагировать и дает возможность проверить за-
конность использования абстракции”.
Вообще построение математической модели есть один из наиболее
сложных и ответственных этапов работы. Опыт свидетельствует о
том, что во многих случаях правильно выбрать модель — это решить
задачу больше, чем наполовину. Умение правильно выбрать матема-
тическую модель, образно говоря, находится на границе науки и ис-
кусства. Понятно, что искусством построения моделей можно овла-
деть только благодаря собственной практике, но ощутить и получить
первые навыки на этом пути можно, работая над этой книгой.
Эти абстрактные рассуждения можно наполнить совершенно кон-
кретным содержанием. В различных руководствах по акустике пред-
ставлено решение задачи об излучении звука системой двух круговых
цилиндров. При этом указывается, что случай касающихся цилинд-
ров (см. раздел 10), рассматриваемый в рамках предельного перехода
при стремлении расстояния между цилиндрами к нулю, не имеет ре-
шения. Удивительно то, что авторы не продолжают рассмотрение фи-
зической задачи. Ведь совершенно ясно, что физически такая задача
совершенно корректна. Отсутствие ее решения в рамках математи-
ческой модели, основанной на предельном переходе, свидетельствует
лишь о ее неадекватности физической задаче Для читателя это ин-
тересная ситуация для размышлений и построения собственной кор-
ректной математической модели.

Р А З Д Е Л 2

КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С
СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

На балке висит колокол. Вы можете сильно дергать ве-
ревку и не раскачаете колокол, а маленький мальчик
его раскачает, если придаст выгодную форму кривой
своей силы, если будет вовремя увеличивать и умень-
шать свою силу. Одно дело, насколько колокол откло-
нится под действием данного груза, другое — как рас-
качать колокол последовательными толчками. Именно
этим интересуется теория колебаний.
Л.И. Мандельштам. [32, с. 12]

2.1. Незатухающие колебания в системе
с одной степенью свободы
2.1.1. Исходные модельные представления
Уже при рассмотрении простейших моделей механических
систем формулируются понятия, важные для описания сложных ко-
лебательных и волновых движений. Говоря о простейших системах,
имеем в виду не только их простоту, связанную с набором составных
элементов, а и существенное упрощение описания процессов взаимо-
действия таких систем с окружающим миром. В крайнем случае,
можно вообще пренебрегать таким взаимодействием при рассмотре-
нии.
Простейшая колебательная система имеет два элемента — упругость
и массу. При этом в качестве простейшего элемента массы можно ис-
пользовать материальную точку. В общем случае ее движение полно-
стью описывается заданием радиуса-вектора положения точки как
функции времени или тремя его проекциями на оси, например де-
картовой системы координат x(t), y(t), z(t).
r
Если на материальную точку не наложены никакие связи, то под