будет иметь вид
…=1.ijijbxx (6.42)
Сравнивая (6.41) и (6.42), видим, что в новой системе координат
.=.111,b .=.222,b .=.333b,
.=0ijb при ..ij (6.43)
Другими словами, тензор приобретает диагональный вид. При этом
направления осей новой системы координат называют главными на-
правлениями тензора (bij), а .и — главными значениями.
Пусть теперь вектор y коллинеарен любому главному направле-
нию, например, первому. Тогда в системе координат, оси которой
совпадают с главными направлениями тензора, преобразование .ijjby
удлиняет вектор y в .1 раз. Понятно, что это свойство не должно за-
висеть от выбора системы координат. Поэтому для вектора y = (y1, y2,
y3), который совпадает с первым главным направлением тензора, в
произвольной системе координат преобразование bijуj будет иметь
вид .1yi, i = 1,2,3.
Приведенные соображения дают возможность определить главные
значения и главные направления тензора второго ранга. Для этого
нужно найти такие значения ., при которых однородная система
уравнений
=.ijjibyy или …=()0,ijijjby =,1,2,3,ij (6.44)
имеет нетривиальное решение, т.е. те значения ., при которых равен
нулю определитель системы (6.44):

….=
..1112132122233132330.
bbbbbbbbb
(6.45)
Уравнение (6.45) является уравнением третьей степени относи-
тельно ., три его корня .i, i = 1,2,3, будут искомыми главными значе-
ниями тензора. Известно, что главные значения действительного

ными числами. Далее последовательно подставляем каждое .i,
i = 1,2,, в систему уравнений (6.44). Соответствующее для каждого
.i, i = 1,2,3 решение системы (6.44) в виде трех чисел (),iy i,k = 1,2,3,
ределяет компоне вектора ()iy=()()())iiiyyy, котый колли-
неарен одному из главных направлТеперь покажем, что три главные направленияkор123(,,
огональными. Пусть три главных значения различны по величине:
.1 . .2 . .3. Рассмотрим два главных направлений, например, (1)y, что
ает. и (2), соответственно, .. Поскольку (1)(2)являются
решениями системы уравнений (6.44), то .(1) и
(2)(2)
k1iy, а
kyiky,
ikby
наky
=(1)
k
iy=.2ikkbyyрую — на (1)
iy:
(2)
=.(1)(2)(1)(2)
1,ikkiiibyyyy
=.(2)(1)(2)(1)
2,ikkiiibyyyy=,1,2,3.ik
будут одинаковыми. Отсюда имеем
(1)
…=(2)
12()iiyy
1iiторов y(1) и y(2): ==(1)(2)(1)(2)0yyyy (два вектора ортогональны, если их
скалярне проиулю). Аналогично можно доказать,
что y (1) . y (3) и y (2) . y (3). Можно показать, что три взаимно перпен-
дикулярные главные направления существуют и в случае, когда
уравнение (6.45) имеет кратные корни [1].
Большое значение имеют величины, со
зора, которые не изменяются при переходе к новой системе ко-
ординат. Их называют инвариантами тензора. Определим инвари-
анты тензора второго ранга, пользуясь тем, что решения уравнений
(6.45) являются главными значениями тензора, а, следовательно, не
зависят от выбора системы координат. Тогда, раскрыв определитель
(6.45), можно утверждать, что коэффициенты полученного уравне-
ния, которые выражаются через компоненты тензора bik, не должны
зависеть от системы координат. Таким образом, согласно (6.45) име-
ем уравнение

…+..=321230.III (6.48)
Отсюда искомые инварианты имеют вид
(след тензора), =.++11122iiIbbbb
(6.49) =++…2222112211332233121323,
Ibbbbbbbbb
=
1112133212223313233.
bbbIbbbbbb

Заметим, что кроме рассмотренных инвариантов, существует
множество других, поскольку произвольная от них функция есть
также инвариантом. Например, часто используют комбинацию инва-
риантов І1 и І2 вида
(6.50) =.=+++++22222212112233121323222IIIbbbbbb
которая всегда является положительной суммой квадратов элементов
тензора.
Инварианты І1, І2, І3 можно выразить через главные значения .1,
.2, .3 как корни уравнения (6.48). Поскольку уравнение (6.48) можно
записать в виде
………=123()()()0,
то отсюда получим такие выражения для инвариантов:
=.+.+.1123,
I
=..+..+..2121323,
I (6.51)
=…3123.
I
Вообще, если некоторая величина представляет собой симметрич-
ный тензор второго ранга, то ее физический смысл фактически опре-
деляется тремя инвариантами (6.49).

6.2. Твердое упругое тело как акустическая
среда
В п. 4.1.1 построена модель акустической среды в виде
идеальной сжимаемой жидкости. Подумаем над тем, какими свойст-
вами нужно дополнить эту модель, чтобы ее можно было использовать
для описания волновых процессов в твердых телах. Согласно модели
идеальной сжимаемой жидкости работа, которая выполняется над

* Паскаль (Pascal) Блез (1623—1662) — французский математик, физик и
философ.
жидкостью (или газом), зависит только от изменения ее объема, и не
зависит от формы сосуда, в котором она находится. Жидкости ока-
зывают сопротивление при изменении их объема, но не оказывают
сопротивление при изменении формы. Это свойство определяется из-
вестным законом Паскаля*, согласно которому давление передается
во все стороны одинаково. Например, если сжимать жидкость порш-
нем, то одинаковое давление будет действовать со стороны жидкости
на все стенки сосуда. При этом любая сила давления, которая дейст-
вует на жидкость или передается ею, всегда перпендикулярна к по-
верхности стенки: касательная к поверхности сила, которая не
уравновешивается отсутствующим в жидкости сопротивлением
изменению формы, не может существовать в условиях равновесия.
Твердые упругие тела, наоборот, оказывают сопротивление изме-
нению, как объема, так и формы. Как говорят, они оказывают сопро-
тивление любой деформации. Работа должна выполняться и в том
случае, когда мы хотим изменить форму тела, не изменяя его объем.
Можно считать, что внутренняя энергия твердого тела зависит не
только от объема, но и от формы. С этим связано то обстоятельство,
что для твердых тел закон Паскаля не выполняется. Давление, кото-
рое передается твердым телом, будет различным в разных направле-
ниях. Сила, которая возникает в твердом теле при его деформирова-
нии, называется упругим напряжением. В отличие от давления в
жидкости сила упругих напряжений в твердом теле может иметь лю-
бое направление относительно площадки, на которую она действует.
Итак, в твердом теле картина напряженного состояния более
сложная и требует более детального анализа картины деформаций.
Как увидим далее, здесь вместо скаляров — давления и сжатия — появ-
ляются тензор напряжений и тензор деформаций.
6.3. Тензор напряжений
В недеформированном теле распределение частиц среды
отвечает его состоянию теплового равновесия. При этом каждый ус-
ловно выделенный в теле объем находится в состоянии механическо-
го равновесия. Внешние силы, которые действуют на физическое те-
ло, можно отнести или к объемным, т.е. распределенным по всему
объему тела (например, сила тяготения), или к поверхностным, т.е.
распределенным на поверхности (например, давление, действующее
на поверхность, которая ограничивает тело). Под действием внешних
сил тело деформируется, т.е. происходит относительное перемещение