. Мигдал А.Б. Поиски истины. — М.: Мол. гвардия, 1983. — 239 с.

тоды математического моделирования. Именно в рамках таких мето-
дов и построена предлагаемая читателям книга.
Рассмотрим коротко понятие модели. Слово “модель” (от латинско-
го слова modulus) означает “копия, образец, прототип”. В самом об-
щем определении, можно сказать, что модель — это такой матери-
альный или мысленно представляемый объект, который в процессе
изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для
данного исследования его характеристики (свойства). Сосредоточим
наше внимание на математической модели.
Обычно в акустике математической модели предшествует по-
строение мысленной физической модели. Мысленная физическая мо-
дель определяется двумя аспектами:
1) построение модели среды и отдельных составляющих исследуе-
мого объекта (его геометрия, характеристики материала и поверхно-
сти объекта). Например, при изучении колебаний пружинного маят-
ника нужно определить свойства пружины и тела с некоторой мас-
сой; обычно говорят о безмассовой пружине и идеально жестком теле,
т.е., теле, поверхность которого не деформируется под действием
внешней силы;
2) моделирование постановки задачи в рамках данной модели.
При построении мысленной физической модели в акустике широ-
ко используется ряд моделей, которые заимствованы из механики,
математического анализа, геометрии. Так, во втором разделе будем
использовать модельное понятие материальной точки, как это приня-
то в теоретической механике, а в следующих разделах — представле-
ние о сплошной среде. Рассматривая предельные поверхности реаль-
ных объектов, воспользуемся идеальными представлениями о линиях
и поверхностях, развитыми в геометрии.
Итак, на этапе мысленного физического моделирования строят
некоторую идеализированную модель реального объекта, при этом
относительно менее важными свойствами объекта пренебрегают.
После того, как мысленная физическая модель создана, переходят
к построению математической модели. Иногда во время этого про-
цесса оказывается, что одна та же математическая модель соответст-
вует нескольким мысленным физическим моделям. Так, механиче-
ские и электрические колебательные системы описываются одинако-
выми уравнениями (см. параграф 2.1); это позволяет, при необходи-
мости, вместо относительно сложного эксперимента на механической
системе провести более простой эксперимент на соответствующей
электрической системе.
Один и тот же объект может иметь много неэквивалентных моде-
лей. Прежде всего, это связано с необходимостью исследования раз-
ных характеристик объекта. Например, исследование идеального ма-
ятника без трения и, наоборот, учет сил трения во время колебатель-
ного процесса приводят к принципиально разным математическим
моделям. Различные математические модели могут использоваться

. Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи матем. наук. —
1998. — 53, вып. 1. — С. 228—234.
даже при изучении одной и той же характеристики объекта. Здесь
важную роль играют средства исследования. Например, при приме-
нении ЭВМ более удобны одни модели, а при аналитическом исследо-
вании — другие.
Конечно, общие контуры математической модели очерчиваются
уже на этапе мысленного физического моделирования. Тем не менее,
и после завершения этого этапа, как правило, возможны различные
модификации математической модели. Иногда в уравнениях можно
оставить одни члены и отбросить другие, нелинейные зависимости
заменить на линейные, сложные геометрические формы — на более
простые и т.д. Это очень важный момент. Поэтому при изложении
материала мы постоянно подчеркиваем сущность тех модельных
предположений, которые приведены в данном разделе книги. Пони-
мание содержания таких предположений необходимо для того, чтобы
не сделать ошибку, которая все время подстерегает того, кто изучает
предмет: расширить область применения полученного в рамках вы-
бранной модели результата за границы применимости самих модель-
ных предположений. В связи с этим при описании модели нужно го-
ворить не только о свойствах объекта, которые отбрасываются или
учитываются, но и указывать границы применимости принятых
предположений. Часто определение таких границ является довольно
сложной задачей, особенно, когда речь идет о возможных количест-
венных оценках. В книге на простейших примерах показан характер
такой работы.
Важно отметить, что понятие “исследовать модель” существенно
сложнее, чем это может казаться на первый взгляд. Яркий пример,
поясняющий эту мысль приведен в работе [., с. 232]: “…математика
учит нас, что решение уравнения dx / dt = x однозначно определяется
начальными условиями (т.е., существующие интегральные кривые на
плоскости (t, x) не пересекаются). Этот вывод математической модели
далек от реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что
все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной
полуоси t. Действительно, например, кривые с начальными условия-
ми x(0)= 0 и x(0) = 1 при t = –10 практически пересекаются, а при t = –
100 между ними невозможно вставить и атом. Свойства пространст-
ва на малых отрезках не описываются евклидовой геометрией. Ис-
пользование теоремы единственности в этой ситуации — явное пре-
вышение точности модели. При практическом использовании модели
это нужно иметь в виду, иначе можно натолкнуться на серьезные не-
приятности”.
Итак, важно понимать, что математическое решение уравнений
математической модели еще не является решением физической за-

дачи. Поэтому прежде, чем считать задачу исследования реального
объекта решенной, нужно сформулировать результат в виде физиче-
ских понятий, т.е. нужно четко понимать как математическое содер-
жание полученных решений, так и то, что они означают на языке ре-
ального мира, который описывает математика.
Важнейшее требование к математической модели – это требова-
ние адекватности реальному объекту относительно выбранной сис-
темы его характеристик. Под этим, обычно, понимают:
1) адекватное качественное описание объекта в соответствии с
выбранными характеристиками. Например, исследование модели ко-
лебательной системы дает возможность сделать правильный вывод о
затухании колебаний реального объекта, об устойчивости его движе-
ния и т.п.;
2) адекватное количественное описание объекта в соответствии с
выбранными характеристиками с некоторой разумной степенью точ-
ности, которая определяется практической целесообразностью и не-
обходимостью.
Следует отметить, что любая адекватность только относительная и
имеет свои границы применимости (как и модель в целом, о чем мы
уже говорили). Об этом нужно помнить, чтобы не возникло желание
навязать реальному объекту свойства его модели. Примером могут
служить свободные колебания реальной системы с малым трением.
Если при математическом анализе колебаний заменить эту систему
линейной моделью без трения, то такая упрощенная модель может