выражениях (5.210) и (5.210а) указывают на тип источника.
.p
Запишем -компоненты колебательной скорости в определенных
выше полях:
x
()()
()
()
01,,cosexpxnnpnxztVzitixixh…=
…..==..+…….
., (5.211)
()()
()
(
011,,cosexpppxnnnpnxztPzitixixh.
=
…..==…+………
.. (5.211а)
Представленные выражения говорят о существенном отличии харак-
тера поля в волноводе для разных источников, в случае, когда часто-
та источника близка к критической частоте .крn..
Если задан источник колебательной скорости, то при ,
т.е. , согласно формулам (5.210), (5.211), давление , а
колебательная скорость
крn.>.()p.>.0n.>
()
x.. не зависит от частоты.
Если задан источник давления, то при крn.>.()pp, т.е. , со-
гласно формулам (5.210а), (5.211а), давление
0n.>
не зависит от час-
тоты, а колебательная скорость ()0px.>.
Для объяснения этих результатов нужно исходить из того, что при
удельное акустическое сопротивление волновода в направ-
лении распространения -ой моды, т.е. отношение
крn.>.n/nxnp.>.. По-

этому, чтобы это отношение имело место, в случае источника скоро-
сти давление ()p.>.
()sz.+./
, а в случае источника давления ()0px.>
кр.>.x(sinz.m.
.
Такая ситуация сложилась потому, что рассматривались идеаль-
ные источники колебательной скорости или давления, т.е. источники
с неизменной амплитудой при любых условиях. Поэтому, определение
поля, которое создается источником в волноводе при n воз-
можно лишь при условии учета параметров реального источника.
Рассмотренный метод расчета звукового поля можно использовать
и для случая волновода с идеально мягкими границами или одной
мягкой границей, а другой жесткой, да и вообще с локально-
реагирующими (т.е. импедансными) границами [20, с. 255].
Действительно, можно показать, что в волноводе с импедансными
границами функции распределения давления или -компоненты
скорости частичек для всех нормальных волн образовывают полную
ортогональную систему функций на отрезке []0,h)0x=
. Эти функции
имеют вид co, где все значения .tg
и .(
()=
определяются из гра-
ничных условий на поверхностях волновода. Например, рассмотрим
плоский волновод (рис. 5.8) с идеально мягкой и импедансной
границами. На импедансной границе выполняется условие: (xh=
zzhzhppipz==
…=….
.. Предлагаем читателю самостоятельно убе-
диться в том, что собственные формы мод имеют вид ), где
значения определяются из уравнения h.i…..
Полнота системы обеспечивает возможность представить данное
распределение давления (или -компоненты скорости частичек) в се-
чении волновода в виде суперпозиции собственных форм нормаль-
ных волн данного волновода. Ортогональность системы обуславливает
единственность такого представления.
x
Легко доказать ортогональность двух различных нормальных волн
()()expnnnnpAgzi=.(nnnpAg20nnpkp.+=
x1,2,…n=
)()expnzi=., (()ngzx
— собственные формы мод) в
волноводе с импедансными границами. Для этого, подставив выра-
жение в уравнение Гельмгольца
, запишем такие уравнения, которым удовлетворяют
эти волны:
()22220,nnnpkpz.
+..=
.
()22220mmmpkpz.
+..=
.
, n.

Умножим первое уравнение на , а второе на , вычтем и интег-
рируем вдоль координаты от к h; тогда будем иметь
mp0npz
()22222200hhnmmnmnnmppppdzppdzz….
.+…=……..
..
()2200hhnmmnmnnmppppdzppdzzz…..=.+……….
..
()22000hhnmmnmnnmppppppdzzz….=.+………
..
Первый член равняется нулю благодаря импедансному условию на
границах волновода. С другой стороны, величины и разные
для разных нормальных волн. Отсюда, необходимо чтобы интеграл
, что и требовалось доказать, ведь равенство нулю дан-
ного интеграла и есть условие ортогональности нормальных волн np
mpри nmДоказательство полноты данной системы функций
рассматривать не будем.
n.m.00hnmppdz=.
п.

В полученной суперпозиции нормальных волн (5.210) или (5.211)
бегущими волнами являются только несколько волн с первыми номе-
рами, для которых n./(kh) < 1 (см. формулу (5.164)), или с учетом того,
что k = 2./. (. — длина волны) имеем h > n./2. Все волны высших
номеров экспоненциально затухают и заметны только вблизи сечения
х = 0. Поэтому на большие расстояния будет передаваться не вся
структура поля в исходном сечении х = 0 со всеми деталями, а только
ее наиболее гладкая часть, которую определяют первые члены ряда
(5.210) или (5.211). Мелкие детали — “тонкая” структура — распреде-
ления V(z) оказываются “срезанными”.
Если ширина волновода меньше ./2, то при любом распределении
давления или -компоненты скорости частиц в данном сечении да-
лее будет распространяться только плоская волна. Такой волновод на-
зывают узким. Узкие трубы используют с целью получения плоской
волны. Такие трубы применяют в измерительной технике, например,
для измерения коэффициента поглощения и входного сопротивления
препятствия (методика эксперимента описана в параграфе 5.7).
xv
Если говорить о волноводе, в котором бегущими являются не-
сколько нормальных волн, то даже довольно гладкая поперечная
структура звукового поля изменяется при переходе от одного сече-
ния к другому вдоль координаты х. Это связано с тем, что разные
нормальные волны распространяются с разными фазовыми скоро-

стями и, как следствие, на пути пробега имеют разные изменения
фазы

…..=……
21nncxxch. (5.212)
Поэтому воссоздать с высокой точностью исходное распределение V(z)
сечения x = 0 на расстоянии x > 0 не удается.

5.14. Плоскопараллельный волновод с
поглощающими границами

В параграфе 5.3 мы исследовали возможность учета поглощения
звуковой энергии, которое имеет место в самой среде. Оказалось, что
угасающие волны можно получить из решения задачи для идеальной
среды простой заменой действительного волнового числа на волновое
число с соответствующей мнимой добавкой. При этом наблюдается
экспоненциальный закон уменьшения звуковой энергии волны.
Рассмотрим плоскопараллельный волновод, который заполнен
идеальной средой с плотностью . и скоростью звука , но границы
волновода частично поглощают звуковую энергию. Пусть, для просто-
ты, верхняя граница есть идеально мягкая, а нижняя – импедансная
(рис. 5.27), причем величина импеданса есть вещественная положи-
тельная величина. (Вернитесь к параграфу 5.7 и вспомните, что при
чисто мнимом входном сопротивлении препятствия модуль коэффи-
циента отражения падающей на препятствие волны равняется еди-
нице.) Убедимся в том, что и в таком волноводе параметры нормаль-
ной волны экспоненциально убывают в процессе своего распростра-
нения.
c

Рис. 5.27. Плоскопараллельный волновод с идеально мягкой () и по-
глощающей (z) границами
0z=
h=

Данная модель является наиболее простой моделью водного слоя с
учетом поглощающих свойств дна. Нужно отметить, что свойства
морского дна не всегда можно описать на основе модели импеданс-
ной границы. Но, для частного случая, когда скорость звука в грунте

мала по сравнению со скоростью звука в воде, такое приближение