|0Sp= (4.41)
Это граничное условие выполняется на границе жидкости или твер-
дого тела с вакуумом. С достаточной точностью абсолютно мягкая
граница моделирует случай падения звуковой волны, которая рас-
пространяется в воде, на границу раздела вода-воздух.
3. Модель границы сопряжения двух идеальных жидкостей. Здесь
задают два условия:
1) кинематическое условие, которое свидетельствует о том, как
двигаются частицы двух сред, которые располагаются вблизи грани-
цы (это условие отражает принцип непрерывности среды);
2) силовое условие — это, по сути, есть требование выполнения
третьего закона Ньютона.
Поскольку идеально сжимаемые жидкости не оказывают сопро-
тивление сдвигу, то кинематическое условие будет заключаться в ра-
венстве нормальных составляющих скоростей частиц первой и вто-
рой сред, которые располагаются вблизи границы, т.е.
()()12||nSnS.=. (4.42)
Силовое условие заключается в равенстве давления, которые оказы-
вают частицы первой и второй сред одна на другую вдоль границы S:
(4.43) (1)(2)||SSpp=
Другие типы граничных условий будем определять в случае необхо-
димости, когда они будут встречаться в конкретных задачах.

4.6. Энергетические характеристики звуковых волн
При анализе излучения и распространение звуковых волн
большое значение имеют энергетические характеристики. Характер-
ным свойством волн является возможность переносить энергию, не
перемещая вещество. Под акустической энергией понимают часть
полной энергии среды, которая обусловлена наличием в ней звуковых
волн. Выбор характеристики зависит от модели среды. Для модели
идеально сжимаемой жидкости акустическая энергия возможна в
виде кинетической и потенциальной энергий. Других видов энергии
при распространении звуковой волны не возникает.

4.6.1. Плотность энергии
Определим плотность энергии (энергия единицы объема)
среды Плотность кинетической энергии КП.EEЕ=+2К02E=.v, а
плотность потенциальной энергии П2Eps=, где s — акустическое
сжатие (формула аналогична выражению для потенциальной энергии
гармонического осциллятора (см. параграф 2.3)). Учитывая линейную
связь между акустическим сжатием и давлением p=. (см. (4.18)),
получим соотношение ПE222sp=.=. Таким образом, плотность
акустической энергии среды

220.22pE.=+
.v
(4.44)
Единица измерения плотности энергии есть Е, дж . м–3.
При линеаризации уравнений акустики, величины которые опи-
сывают звуковое поле в среде (,,p.v. ) считались малыми, поэтому
можно было пренебречь их квадратами в системе уравнений акусти-
ки (принимая также во внимание, что произведение двух таких ве-
личин является величиной, которой также пренебрегают). Но, как ви-
дим, другое правило используется для выражения энергии, в котором
первые степени малых величин p и v отсутствуют. Поэтому следует
сохранять квадраты и произведения двух малых величин, а пренеб-
регать их кубами (понимая при этом, что произведение трех и более
таких величин является величиной, которой также пренебрегают).
Рассмотрим детальнее плотность энергии в гармонической волне,
т.е. волне, для которой давление и скорость частиц в некоторой точке
среды изменяются по гармоническому закону. Для определения плот-
ности энергии в гармонической волне запишем давление и скорость
частиц в действительном виде (экспоненциальная форма записи не
может быть использована, поскольку в формулах присутствуют квад-

ратичные величины; напомним, что для комплексных чисел z1 и z2
имеем 12Re()zz12ReRezz.):
0cos(),t.=….0cos(),ppt=. (4.45)
где p0 и .0 — амплитуды соответственно давления и скорости в дан-
ной точке; величина . определяет сдвиг фаз между звуковым давле-
нием и скоростью частиц среды. Тогда плотность энергии в данной
точке имеет вид

2222000()cos()cos().
22pEttt..=…+..

Как следует из данного выражения, плотности кинетической и по-
тенциальной энергий осциллируют между нулем и максимальными
значениями 220002,2p…. Интерес представляет среднее значение
плотности энергии за один период T колебаний частиц среды:

01(),
TEEtdtT..=.
2T.=
.. (4.46)
Поскольку интеграл от квадрата косинуса за период равен 1/2, то
искомое среднее таково:

22000.44pE….=+
.
(4.47)
Плотность звуковой энергии является малой величиной по обыч-
ным масштабам энергетики даже для очень громких звуков. Так,
плотность звуковой энергии при обычном разговоре на расстоянии
1м от разговаривающего (давление при этом равняется приблизи-
тельно 0,02 Па), составляет приблизительно 1,4 .10–9Дж/м3. В зале
(20 000 м3) при фортиссимо оркестра суммарная звуковая энергия
достигает порядка 0,1 Дж [20, с. 111], что приблизительно равняется
работе силы тяготения при подъеме груза массой 10 г на высоту 1 м.
Тем не менее, очень часто применяют ультразвук (звуки с частотой
более 20 кГц), вследствие возможности концентрации его энергии на
очень ограниченных участках среды.
4.6.2. Плотность потока мощности.
Интенсивность
Рассмотрим теперь перенос энергии звуковой волной, ко-
торая распространяется в среде. Поскольку в процессе распростране-
ния волны изменяется энергия частиц среды, то можно говорить о
потоке энергии в звуковой волне. Выделим в среде некоторую по-

верхность А. Тогда энергию, которая переносится, можно определить
как работу, которую выполняют движущиеся частицы, расположен-
ные слева от А, над неподвижными частицами, расположенными
справа от А. При этом на единичной площадке с нормалью n будет
развиваться мощность
p=Wv (4.48)
Величину W называют плотностью потока мощности. Зная направ-
ление вектора n, говорят о модуле плотности потока мощности
.nW=W Поскольку вектор скорости частиц определяется своими ко-
ординатами, т.е. (,,)xyz…vW, то можно определить плотность потока
мощности вдоль любой оси декартовой системы координат; напри-
мер, вдоль оси Ox имеем xp=.. Вообще при необходимости мож-
но определить плотность потока мощности вдоль произвольного на-
правления.
Остановимся подробнее на гармонических волнах. Рассмотрим
общий случай в соответствии с формулами (4.45), когда между ис-
ходными величинами p и n. есть некоторый сдвиг фазы .. Мгновен-
ный поток мощности имеет вид
00()cos()cos()nWtptt=…., (4.49)
или
20000()coscos()sinsin()cos().nWtptptt=…+…. (4.50)
Обычно при рассмотрении гармонических волн не интересуются
мгновенным потоком мощности (). Более содержательным для
гармонической волны есть средний за период поток мощности, кото-
рый называется интенсивностью и обозначается In. Итак,
nWt

01(),
TnnnIWWtdtT=..=. 2.T…=…..
(4.51)
Подставим формулу (4.50) в выражение (4.51) и вычислим интегралы.
Тогда получим, что
00cos.
2npI.=. (4.52)
В случае синфазности величин p и .n (0.=) интенсивность
002nIp=. является наибольшей. В случае, когда p и .n, сдвинуты по
фазе на 90°, интенсивность равняется нулю. Эти важные частные
случаи еще будут обсуждаться нами при анализе волновых процессов.
Рассмотрим выражение (4.50) для плотности потока мощности.