10.11. Задачи ………………………………………………………………… 696
Р А З Д Е Л 11

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ………………………….. 698
11.1. Линейные и нелинейные математические модели ……….. 698
11.2. Нелинейный осциллятор ………………………………………….. 701
11.3. Период колебаний нелинейного осциллятора ……………… 703
11.4. Фазовое пространство …………………………………………….. 704
11.5. Особые точки и их классификация …………………………… 705
11.6. Фазовый портрет динамической системы ………………….. 709
11.6.1. Консервативная система ………………………………….. 710
11.6.2. Диссипативная система …………………………………… 713
11.7. Осциллятор с нелинейностью синуса …………………………. 715
11.7.1. Аналитический подход …………………………………….. 715
11.7.2. Асимптотический метод …………………………………… 719
11.8. Осциллятор с квадратичной нелинейностью, как мате-
матическая модель теплового расширения кристалла …… 725
11.9. Собственные колебания газового пузырька в жидкости . 729
11.10. Автоколебания ……………………………………………………… 733
11.10.1. Автоколебания — типичное природное явление .. 733
11.10.2. Основные определения и свойства …………………. 734
11.10.3. Маятниковые часы ………………………………………. 738
11.10.4. Свойство фазы на предельном цикле автоколе-
баний ………………………………………………………….. 741
11.11. Автоколебательные системы с нелинейной силой тре-
ния ……………………………………………………………………… 743
11.11.1. Отрицательное трение как механизм возбужде-
ния автоколебаний ………………………………………. 743
11.11.2. Осциллятор Рэлея …………………………………………. 748
11.11.3. Почему звучит скрипка ………………………………… 751
11.12. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора ….. 753
11.12.1. Нелинейный резонанс …………………………………… 754
11.12.2. Резонанс на гармониках и субгармониках ………. 765
11.13. Хаос при вынужденных колебаниях нелинейного ос-
циллятора …………………………………………………………….. 769
11.13.1. Некоторые особенности исследования хаоса ……. 771
11.13.2. Осциллятор с кубической нелинейностью при
гармоническом внешнем влиянии …………………. 773
11.13.3. Хаотизация колебаний пузырька газа в жидко-
сти под действием звукового поля ………………….. 778

11.14. Параметрические колебания нелинейных систем ……… 779
11.14.1. Энергетический анализ явления параметриче-
ского возбуждения колебательной системы ……… 780
11.14.2. Гармоническое параметрическое возбуждение в
системе ……………………………………………………….. 782
11.14.3. Маятник Капицы …………………………………………. 788
11.15. Синхронизация колебаний …………………………………….. 790
11.15.1. Синхронизация — фундаментальное нелинейное
явление ……………………………………………………….. 790
11.15.2. Синхронизация периодических автоколебаний
внешним воздействием …………………………………. 793
11.16. Задачи ………………………………………………………………… 800
Р А З Д Е Л 12

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В АКУСТИЧЕСКИХ
ПОЛЯХ ………………………………………………………….. 802
12.1. Нелинейная акустика как раздел физики нелинейных
волн ……………………………………………………………………. 802
12.2. Простые волны ………………………………………………………. 805
12.2.1. Волны Римана ……………………………………………….. 805
12.2.2. Графический анализ деформации профиля волны
Римана ………………………………………………………….. 814
12.3. Методы получения приближенных уравнений нелиней-
ной акустики ………………………………………………………… 815
12.3.1. Метод последовательных приближений …………….. 816
12.3.2. Метод медленно изменяющегося профиля …………. 819
12.4. Графический анализ деформации профиля простой
волны на основе приближенного решения ………………… 823
12.5. Нелинейное взаимодействие в простых волнах ………….. 824
12.6. Нелинейные волны в среде с диссипацией. Уравнение
Бюргерса …………………………………………………………….. 827
12.7. Нелинейные волны в среде с релаксацией. Уравнение
Кортевега-де Вриза-Бюргерса ………………………………… 832
12.8. Плоские бегущие волны в слабонелинейной поглощаю-
щей среде с дисперсией …………………………………………. 838
12.9. Солитоны ……………………………………………………………… 842
12.10. Нелинейное взаимодействие акустических волн ……….. 844
12.11. Параметрические излучатели и приемники звука …….. 846
12.12. Задачи ………………………………………………………………… 851

Р А З Д Е Л 13

АКУСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ……………………….. 853
13.1. Общие положения …………………………………………………… 853
13.2. Измерение колебательной скорости и акустического
давления методом диска Рэлея ……………………………….. 854
13.3. Градуировка электроакустических преобразователей на
основе принципа взаимности ………………………………… 858
13.3.1. Формулирование принципа взаимности для элек-
троакустических преобразователей …………………… 858
13.3.2. Метод трех преобразователей …………………………… 861
13.4. Относительные методы градуировки …………………………. 863
13.5. Задачи ………………………………………………………………….. 864
Список литературы …………………………………………………………. 865

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО

Есть многое на свете, друг Горацио,
Что и не снилось нашим мудрецам.
У. Шекспир.. Гамлет (1601 г.)

Нашу книгу мы открываем шекспировскими строками.
Они написаны четыреста лет назад. Но как тогда, так и сегодня, че-
ловек постепенно познает природу, расширяется горизонт его виде-
ния, а значит и в будущем исследователями будет открыто еще много
нового и интересного. Мы живем во время больших и быстрых пере-
мен. В таких условиях процесс развития науки очень важен для об-
щества. Действительно, опираясь на научные исследования, благода-
ря общим усилиям людей можно предусмотреть и содействовать ре-
шению проблем, которые влияют, как на отдельного человека, так и
на весь мир в целом. С этими мыслями и с надеждой на будущее мы