w(x, y, t) = W(x, y)exp(–i.t). (3.127)
Подставляя (3.127) в волновое уравнение (3.125), получаем уравнение
Гельмгольца. для амплитудной характеристики W(x, y):
.W + k2W = 0, k2 = .2/c2. (3.128)
Функция W(x, y) в соответствии с граничными условиями (3.126)
должна обладать такими свойствами:
W(0, y) = W(lx, y) = 0,
W(x, 0) = W(x, ly) = 0. (3.129)
Эти требования проще всего можно было бы удовлетворить, если бы
саму функцию W(x, y) можно было записать в виде
W(x, y) = X(x)Y(y). (3.130)
Рассмотрим равенство (3.130), где искомая функция от двух коор-
динат представлена в виде произведения двух функций, каждая из
которых зависит от одной координаты, как предположение о струк-
туре искомого решения. Если, учитывая это допущение, рассмотреть
(3.128), то получим соотношение

222220dXdYYXkXYdxdy++=,
или

2222211.XdkYXYdxdy…
=.+..
….
(3.131)
Левая сторона этого уравнения есть функция только х, а правая —
только у. Причем это равенство должно сохраняться при любых зна-
чениях х и у. При таком условии единственная допустимая возмож-
ность заключается в том, чтобы считать эти выражения независимы-
ми ни от х, ни от y, т.е. они могут равняться некоторой постоянной
величине. Обозначим эту постоянную: -.2. Вообще сама величина .
может быть комплексной и потому введение знака минус перед .2 не
имеет принципиального значения. Это сделано лишь для удобства.
Таким образом, исходя из (3.131), можно сделать вывод, что реше-
ние уравнения Гельмгольца в виде (3.130) существует, причем функ-
ции, которые входят в него, определяются из обычных дифференци-
альных уравнений:

2220,dXXdx+.= ()22220.dYkYdy+..=
Их общие решения имеют такой вид:
X(x) = a1cos(.x) + a2sin(.x),
()222212cossin.Yybkybky…=…+….
…
(3.132)
Итак, установлено, что уравнение Гельмгольца (3.128) в декарто-
вых координатах имеет решение вида (3.130). Это обстоятельство
является основой утверждения о том, что уравнение Гельмгольца
допускает разделение переменных в декартовых координатах. Факт
разделения переменных очень важен для построения решения урав-
нения в частных производных. Именно поэтому при математиче-
ском моделировании волновых процессов разной физической при-
роды широко используются координатные системы, в которых раз-
деляются переменные в уравнении Гельмгольца.
Выражения (3.132) дают решение исходного уравнения (3.128)
при произвольном значении . и частоты колебаний . (волнового чис-
ла k). Однако они не удовлетворяют краевым условиям. Согласно
(3.129) должны выполняться равенства
X(0) = X(lx) = 0,
Y(0) = Y(ly) = 0. (3.133)
Отсюда получим такие значения произвольных величин в (3.132) (сде-
лайте самостоятельно):

a1 = 0; b1 = 0; ,nxnl..= n = 1, 2, …,

222,nmnymkl…..=….
..
m = 1, 2, …, n = 1, 2, … (3.134)
Величины a2 и b2 остаются произвольными.
Теперь можно сказать, что нормальные колебания мембраны най-
дены. Периодическое движение мембраны с частотой .nm = cknm мо-
жет быть описано функцией
wnm(x, y, t) = AnmWnm(x, y)exp(–i.nmt). (3.135)
Действительная часть полученного комплексного решения (3.135)
имеет вид
wnm(x, y, t) = Wnm(x, y)[anmcos(.nmt) + bnmsin(.nmt)]. (3.136)
Здесь Anm — произвольная комплексная постоянная; anm, bnm — про-
извольные действительные постоянные. Собственные формы и собст-
венные частоты определяются так:
(),sinsinnmxynmWxyxyll……=……….

22,nmxynmcll….
.=.+……….
n, m = 1, 2, … (3.137)
Проанализируем полученное решение. Как видно из (3.135)—
(3.137), нормальное колебание прямоугольной мембраны, закреплен-
ной по контуру, есть стоячая волна. Рассмотрим сначала простейшее
колебание, которое соответствует случаю n = m = 1:
()()111111,,sinsinexp.
xyxywxytAitll……=………..

Его частота 2111/1/xcll.=.+ есть наименьшая нормальная часто-
та, она характеризует основной тон мембраны. При колебании мем-
браны контур ее остается неизменным, а все точки отклоняются вме-
сте или с одной стороны плоскости xOy, или из другой. Наибольшую
амплитуду колебаний имеет точка с координатами x = lx/2, y = ly/2,
т.е. центр мембраны. Как и для струны, такие точки называются
точками вспучивания. Линии, точки которых не колеблются, назы-
ваются узловыми линиями. Для нормального колебания w11(x, y, t) уз-

ловые линии совпадают с контуром мембраны. На рис. 3.23, а изо-
бражена мембрана, когда все ее точки достигают наибольшего откло-
нения вверх. Потом все отклонения уменьшаются и становятся рав-
ными нулю, после чего мембрана начинает прогибаться вниз.

Рис. 3.23. Собственные формы первых четырех нормальных колебаний
прямоугольной мембраны (стрелки указывают на узловые линии)

Рассмотрим теперь нормальное колебание w21(x, y, t). Узловые линии оп-
ределяются из уравнений sin(2.x/lx) = 0 и sin(.y/ly) = 0. Кроме линий конту-
ра, это будет отрезок прямой x = lx/2. При условии 0 < x < lx/2 функция
sin(2.x/lx) положительная, а при условии lx/2 < x < lx — отрицательная. По-
этому левая и правая половины мембраны будут прогибаться в разные сто-
роны (рис. 3.23, б). Итак, будет две точки вспучивания. Это точки пересече-
ния прямой y = ly/2 с прямыми x = lx/4, x = 3lx/4. Проанализируйте самостоя-
тельно нормальные колебания w12(x, y, t), w22(x, y, t) (рис. 3.23, в, г).
Для всех нормальных колебаний (),,nmwxyt прямоугольной мем-
браны можно выделить такую закономерность: кроме линий контура,
количество узловых линий, параллельных оси Oy, равняется (n – 1).
Количество узловых линий, параллельных оси Ox, равняется (m – 1).
Эти линии разбивают мембрану на nm прямоугольников, причем в
двух смежных (тех, что имеют общую границу) отклонения направле-
ны в разные стороны. Центр каждого такого прямоугольника являет-
ся точкой вспучивания.
Частоты собственных колебаний пропорциональны cF=., как и
в случае струны. Среди набора частот могут быть частоты, кратные

основной частоте .11, но вообще собственные частоты мембраны не
находятся в гармоническом соотношении.
Обратим внимание на одну важную особенность колебания мем-
браны. При колебаниях струны каждой нормальной частоте соответ-
ствует одна собственная форма колебаний, которая целиком опреде-
ляет форму струны. При колебаниях мембраны одной нормальной
частоте может соответствовать несколько собственных форм. Такие
ситуации возникают, когда отношение сторон мембраны равняется
целым числам. Пусть, например, lx = 2ly, тогда

22.4nmycnml..=+ (3.138)
Отсюда имеем .44 = .82. И таких ситуаций может быть множество.
При рассмотрении нормальных колебаний такие случаи называются
вырожденными.
Эта возможность, однако, не обусловливает какие-либо трудности
в процессе определения движения мембраны по заданным началь-
ным условиям. Степень возбуждения каждой из собственных форм
Wnm однозначно определяется заданными функциями Q1(x, y), Q2(x, y)
в выражении (3.124). Однако при решении важной в инженерном
плане задачи экспериментального определения собственных форм