..
..1()
2Qxct+..
.
На рис. 3.10 при скорости c = 1 показана форма струны в разные
моменты времени t > 0; стрелки указывают направление движения
возмущений. Начало процесса полностью отвечает случаю бесконеч-
ной струны: начальное отклонение разделяется на две бегущие волны,
которые распространяются в разные стороны. Итак, образуется че-
тыре волны, две из которых движутся к точке x = 0. При их прохож-
дении через точку x = 0 происходит процесс наложения волн. На
рис.3.10, в (t = 3) показано, что возмущения на физической (x . 0) и
нефизической (x < 0) частях струны подошли к точке x = 0. Как ви-
дим, и далее точка x = 0 остается неподвижной. Так, на рис. 3.10, д
отклонение на отрезке х = [–1,1] равно нулю, стрелками показаны
скорости точек струны. Смещение точки x = 0 всегда равно нулю, по-
скольку две волны полностью гасят друг друга. Потом, после того, как
волны пройдут одна сквозь другую, волна, которая раньше была на
нефизической части струны, перейдет на физическую часть струны,
и наоборот (рис. 3.10, е). Начертите форму струны при t = 3,25.
Возвращаясь к полубесконечной струне, можно отметить, что вол-
на, которая падает на препятствие справа, отражается от препятствия
в точке x = 0 и перемещается в противоположном направлении, сохра-
няя при этом свою первоначальную форму, но изменяя знак. Другими
словами, фаза волны изменила свой знак. Таким образом, наличие
граничного условия при x = 0 приводит к возникновению отраженной
волны. Понятно, что вид отраженной волны будет определяться гра-
ничными условиями в точке x = 0.
Аналогично рассмотрим случай, когда начальное отклонение
Q1( x) = 0, а задана начальная скорость Q2( x) (рис. 3.11). Вновь опре-
делим начальные условия для бесконечной струны, используя нечет-
ное продолжение функции Q2( x) для x < 0 (рис. 3.12):
1(,)()0,yxtQx=..... 222(),0(,0)()
(),0QxxyxQxQxx...==.
..<..
....
Решение для бесконечной струны, согласно формуле (3.21), имеет вид
(,)(yxtxctxct+.........
(x...
()xct.....
, где 201()()
2xxQc.=...., график функции
представлен на рис. 3.13. На рис. 3.14 показана форма струны
при t > 0 и c = 1. Можно видеть, что форма струны в некоторый мо-
мент времени есть результат суперпозиции двух волн и
. При t > 6 на физической части струны (x . 0) трапеция
()xct.+..

распространяется вправо, а на нефизической (x < 0 ) — влево. Гра-
ничное условие (3.22) выполняется для любого момента времени t . 0.
Нарисуйте форму струны при t = 3,5; t = 4,5.

Рис. 3.11. Начальное распределение скорости в полубесконечной струне

Рис. 3.12. Начальное распределение скорости в бесконечной струне

Рис. 3.13. График функции ()x…

3.3.3. Волновое сопротивление струны
Проведенный анализ показывает, что малые возмущения на струне
могут распространяться в виде волн, фазовая скорость которых не за-
висит от начальных условий. Для характеристики систем, в которых
могут распространяться волны, часто используют величину, в некото-
ром смысле аналогичную введенному ранее импедансу колебательной
системы. В каждом сечении система с распределенными параметрами
характеризуется отношением внутренней силы к скорости движения
точки приложения силы. В отличие от рассмотренного ранее импедан-
са колебательной системы, который характеризует реакцию системы
на внешнюю силу, здесь речь идет о свободных волновых движениях.
Такая характеристика сплошной среды называется ее волновым со-
противлением. Определим его для струны.

Рис. 3.14. Графики перемещения возмущения на струне в разные моменты
времени:
а — t = 1, б — t = 2, в — t = 3, г — t = 4, д — t = 5, е — t = 6

Рассматривая движение струны при распространении вдоль нее
волны, считаем в первом приближении, что точки струны двигаются
лишь перпендикулярно к равновесному положению струны. Итак,
скорость точек струны в этом направлении /yt.=… Что касается
сил взаимодействия между элементами струны, то они всегда на-
правлены по касательной к согнутой струне. В каждом сечении стру-
ны составляющая силы по направлению скорости равна
/yFFyx=…. Вследствие этого волновое сопротивление струны име-
ет вид:
/.
/
FyxZyt…
=
..
(3.23)
Для каждого из двух возможных типов волн в струне 1()yxct=.+
2(yxct=.. имеем значение 1/ZF=.
2cc2/ZF=, . С учетом значения
для фазовой скорости волн в струне F=. записываем
1,2.Z=±. (3.24)
Как видим, в общем случае значение волнового сопротивления ха-
рактеризует и направление распространения волны. Поскольку выбор
направления осей допускает некоторую произвольность, то, говоря о
волновом сопротивлении среды, имеют ввиду абсолютное значение Z,
т.е. в данном случае .c. Как будет видно из дальнейшего изложения,
произведение плотности среды на скорость волны характеризует вол-
новое сопротивление самых разных сред.
3.4. Энергетические характеристики
волнового движения струны
Принятая модель струны означает, что подведенная к ней
извне энергия накапливается и существует лишь как кинетическая и
потенциальная энергии. Кинетическая энергия элементарного участ-
ка струны dx имеет вид

2К1.2yEdxt…=……
(3.25)
Эта величина является квадратичной относительно скорости точек
струны .y/.t.
Для вычисления потенциальной энергии струны также нужно учи-
тывать квадратичные величины относительно y. Эта энергия равна
той работе, которую надо выполнить при смещении элемента струны
из состояния равновесия в отклоненное положение. Для малых откло-
нений от положения равновесия натяжение струны считается неиз-

менным. В процессе деформации элемент струны растягивается до
некоторой длины .s; итак, прирост длины представляет .
Именно на этом пути неизменное натяжение осуществляет работу.
Поэтому потенциальная энергия, накопленная в деформированном
элементе, имеет вид
sdx..
П()EFsdx=.. (3.26)
Длина элемента струны после деформации

21.ysdx….=+…..
(3.27)
Итак, потенциальная энергия элемента струны

2П11yEFdxx……=+……..
..
(3.28)
При выводе уравнения движения струны, при условиях малости
отклонений от положения равновесия, получили оценку ()21yx..<<.
При вычислении тригонометрических функций углов наклона каса-
тельной к струне величинами (.y/.x)2 по сравнению с единицей пре-
небрегали. Ясно, что в (3.28) этого сделать нельзя. Но учет малости
(2yx.. по сравнению с единицей дает возможность получить более
удобное для вычисления выражение для потенциальной энергии. Ис-
пользуя соотношение

221111…
28yyyxxx………+=+.+……………
(3.29)
и оставляя лишь главные по порядку величины, находим, что

2П1.2yEFdx…=…..
(3.30)
Отсюда полная энергия элемента струны имеет вид

22КП11.22yyEEdxFdxtx……+=.+……….
(3.31)
Энергию, отнесенную к единице длины, называют плотностью энер-
гии в струне:

2211.22yyEFtx……=.+……….
(3.32)

Рассматривая движение систем с конечным числом степеней сво-