2(11+..+ 22)+., имеем , . Это означает: если в пер-
вой парциальной системе колебания частоты . – имеют конечную ам-
плитуду, то во второй парциальной системе амплитуда колебания той
же самой частоты практически равна нулю, поэтому . Если во
второй парциальной системе наблюдаются колебание частоты . +, то в
первой парциальной системе колебания той же частоты практически
равны нулю, откуда следует, что k+ > 0. Итак, передача энергии от
одной парциальной системы к другой будет очень мала, т.е. колебания
будут считаться разделенными (можно пренебрегать связью между
парциальными системами), если связанность (но не связь .2) мала
( ).
k.>.0k+>
k.>.
.>
Следует отметить, что в случае малой связанности (. > 0), нор-
мальные частоты приближаются к парциальным. Действительно, как
видно из (2.92), при условии . > 0 ()22221…… имеем ,
. Итак, малая связанность между системами дает основание
рассматривать нормальное колебание в двух взаимодействующих
1….2+…

системах как собственное колебание одной из парциальных систем с
большой амплитудой, что служит причиной слабых колебаний во вто-
рой системе.
Для каждого нормального колебания та парциальная система име-
ет большую амплитуду, в которой парциальная частота приближается
к нормальной частоте рассматриваемого колебания. Очевидно, что
при приближении к равенству парциальных частот .1 i .2 коэффици-
ент связанности (2.101) значительно возрастает даже при малых зна-
чениях связи (.2). Незначительные силы связи существенно влияют на
процессы, когда парциальные частоты близки. Наоборот, в случае
значительного отличия в парциальных частотах, даже относительно
большие силы связи не влияют на колебание каждой отдельной пар-
циальной системы.
Если парциальные частоты равны, т.е. связанность . > ., то ам-
плитуды колебаний одинаковы по обеим координатам. Действитель-
но, при условиях .1 = .2, m1 = m2 формулы (2.98) и (2.102) определяют
и 1k.=1.k+=.
В конце параграфа, посвященного анализу нормальных колебаний
в системе с двумя степенями свободы, обратим внимание на такое
обстоятельство. Мы определили и охарактеризовали частоты нор-
мальных колебаний как некоторые собственные фундаментальные
характеристики системы. Вместе с тем они выражаются через собст-
венные частоты парциальных систем, выбор которых, как отмеча-
лось, является достаточно произвольным. В связи с этим возникает
вопрос: изменяются ли нормальные колебания при изменении выбора
парциальных систем. Общий ответ теории колебаний отрицательный.
Для того чтобы проверить этот вывод на конкретной системе, нужно
рассмотреть приведенную выше систему — балка на двух пружинах
(рис. 2.14, в) — с использованием двух разных способов выделения
парциальных систем.
2.5.3. Движение при заданных начальных условиях
Выражения (2.99) и (2.100) определяют частные решения
уравнений (2.86). Складывая (2.99) и (2.100) вследствие линейности
уравнений (2.86), получаем их общее решение, которое зависит от
двух комплексных постоянных 2A. и 2A+:
(2.103) ()()()111,
xtxtxt.+=+()()()222.
xtxtxt.+=+
Поскольку физическое содержание имеют действительные части в
(2.103) то, принимая во внимание (2.99), (2.100), записываем выра-
жения для колебаний x1 (t) и x2 (t) в действительной форме:
()()()1coscos,xtaktakt…++
.+=.+.+.+

()()()2coscos,xtatat..++
.+=.+.+.+.
(2.104)

где постоянные a–, a+, .–, .+ определяются из начальных условий. Из
общего решения (2.104) следует, что движение каждой из координат
x1 (t) и x2 (t) является следствием суперпозиции двух нормальных коле-
баний с частотами .. и +.. Поскольку эти частоты в общем случае не
кратные, то в результате движение будет непериодическим. Но в этом
и заключается значимость нормальных колебаний: с их помощью
сложное произвольное движение можно представить в виде суммы
простых гармонических колебаний, которыми являются нормальные
колебания.
Рассмотрим движение в системе при таких начальных условиях:
x1 (0) = x0, ()200,x=
.+.=.
()()1200xx==….
=
. Из условия ()()1200xx==….
aa.+=.
вы-
текает, что 0. Из условия x1 (0) = 0 имеем . Тогда
формулы (2.104) приобретают вид
()()()1coscos,xtaktkt++.
+…=…..
()()()2coscos.xtatt+
+.=…… (2.105)
Используя начальное условие x1(0) = x0, находим ()0/.axkk++.=. С
учетом этого запишем (2.105) так:
()()()01coscos,
xxtktktkk+.
+.+.
..=…..

()()()02coscos.
xxtttkk+.+.=……
.
(2.106)
Если парциальные частоты одинаковые (.1 = .2) и (m1 = m2), то согласно
(2.98) имеем 1k+=., 1k.=. В этом случае формулы (2.106) имеют вид
()10coscos,
22xtxtt+.+..+…….=…
…

()20sinsin.
22xtxtt+.+..+…….=…
…
(2.107)

Особенно интересными являются движения в системе, когда при
условии .1 = .2 имеем +.+….+…. Если +.+….+…
0t=
, то ко-
лебания имеют вид, приведенный на рис. 2.19 в качестве примера.
Здесь графики иллюстрируют, что в момент времени энергия

вносится в первую парциальную систему путем отклонения массы
на величину
1m0x/… Со временем колебания массы ослабляются, а ко-
лебания массы постепенно увеличиваются. Таким образом, энер-
гия перетекает из первой парциальной системы во вторую. Спустя
некоторое время
1m[s.12m=
x..
2t.=
51
(), +.=....здесь ]co()/20t+….=
/+…=
,
, вся
энергия колебаний полностью перетечет в другую парциальную сис-
тему, и начнется движение энергии в противоположном направлении.
Графики на рис. 2.19 построены при таких условиях: 1,1; то-
гда имеем tT.
1..
, где 2/T..=..2x..
.

Рис. 2.19. Графики свободных колебаний в системе с двумя степенями сво-
боды (. 1 = . 2, m1 = m2) при начальных условиях:
х1 (0) = 1, х2 (0) = 0, (0) = (0) = 0; /1+…=

Если , то энергия, накопленная первоначально в одной парциаль-
ной системе, никогда не будет передаваться полностью второй парциальной
системе. Это наглядно отображают формулы (2.106), ведь, если парциальные
частоты значительно различаются (малая связанность), то один из коэффи-
циентов распределения амплитуд становится намного больше второго. Эту

ситуацию иллюстрирует рис. 2.20, для которого kk.+… Здесь
, а коэффициент связанности /1+…=
4,2k..
12(,…0,5.=
x; тогда при условии m1 =
m2, , . Согласно (2.106) минимальное значение ампли-
туды первой парциальной системы равно величине
4
..
0,24k+..
12)mm=
0,
kk
т.е. амплитуда
первой парциальной системы изменяется мало, а максимальная ам-
плитуда второй парциальной системы равняется ()02/xkk.++, т.е.
значительно меньше амплитуды первой парциальной системы (на
рис. 2.20 соответственно имеем значение 0,9 и 0,45 при x0 = 1).

image description

Рис. 2.20. Графики свободных колебаний в системе с двумя степенями свобо-
ды при начальных условиях:
()101x=,()=..2100,xx ()()==..200×0/+.; 1,1;..= .= 0,5
Время перетекания энергии из одной парциальной системы в дру-
гую зависит от величины связи между системами. Действительно, при