.=
2013const.
2paa
(12.111)

Рис. 12.8. Эволюция начального возмущения в нелинейной среде с диспер-
сией, которая завершается образованием солитонов [45, с. 26]

Как следует из соотношения, чем больше амплитуда солитона, тем
он уже. Анализ точного решения уравнения КдВ подтверждает спра-
ведливость соотношения (12.111). Вообще солитоны имеют очень ин-
тересные свойства. Например, оказывается, что их скорость тем
больше, чем больше амплитуда. Другое свойство иллюстрирует
рис. 12.8 [45, с. 26], на котором представлена эволюция начального
возмущения в рамках уравнения КдВ. Как следует из рисунка, про-
цесс формирования резкого изменения профиля останавливается и
происходит образование одного или нескольких солитонов, число ко-
торых определяется начальными условиями.

* Рассел (Russell) Джон Скотт (1808—1882) — английский ученый и ин-
женер-изобретатель.
Образование солитонов возможно в случаях, когда дисперсионные
эффекты значительно преобладают над эффектами поглощения, на-
пример, гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидко-
сти. Впервые одиночную волну на поверхности воды наблюдал Рассел*
в 1838 г. Для звуковых волн в жидкостях и газах характерно проти-
воположное соотношение, а именно: преимущество диссипации над
дисперсионными эффектами. Однако в структурно-неоднородных
средах, где существует акустическая дисперсия, наблюдаются эф-
фекты солитонного характера [28].
12.10. Нелинейное взаимодействие
акустических волн
Две волны, бесконечно малой амплитуды, проходя сквозь
некоторую область среды, создают интерференционную картину, в
которой взаимное усиление колебаний в одних местах и ослабление в
других объясняется суперпозицией волн, приходящих в точку наблю-
дения со сдвигом фаз. При конечной амплитуде хотя бы одной из
двух волн, кроме интерференции, наблюдается их взаимодействие,
которое выражается в появлении новых волн, что обусловлено нели-
нейностью волнового процесса.
Нелинейное взаимодействие волн — одно из наиболее важных
эффектов нелинейной акустики, которое уже нашло применение в
технике. Чтобы понять главные особенности этого сложного явления,
рассмотрим простой случай, а именно: распространение двух плоских
волн p1(x,t) и p2(x,t) вдоль оси Ох. При этом одновременно рассмотрим
две ситуации: когда волны распространяются в одном направлении и
в противоположных направлениях.
Воспользуемся методом последовательных приближений, посколь-
ку при изучении поля встречных волн нельзя ввести сопровождаю-
щие координаты и применить метод медленно изменяющегося про-
филя.
Итак, пусть волны первого приближения ().1,pxt и — пло-
ские гармонические волны с частотами .1 и .2. Тогда в первом при-
ближении звуковое давление в среде имеет вид
(.2,pxt
()()…=+=..+..12111222coscos.pppAtkxAtkx (12.112)
Верхний знак (здесь и в дальнейшем) во втором слагаемом соответст-
вует распространению волн в одном направлении, нижний — рас-
пространению волн навстречу друг другу; k1 = .1/c0, k2 = .2/c0.

Волны второго приближения (нелинейное слагаемое р. ) найдем с
помощью уравнения (12.50). Его правую часть, выполняющую роль
возбуждающей силы, которая действует вдоль оси Ох, определим че-
рез р. и … Подставляя ..=+1ppp и ()()….=±.1200ppc в формулу
(12.51а) для возбуждающей силы, получаем
Q = Q11 + Q22 + Q12, (12.113)
где Q11 выражается через ().21p..12pp, а Q22 — через ().22p. Добавка Q12 оп-
ределяется произведением и имеет вид

()()()………….=±+..
…….
22121212222200012.
ppppQcxct
(12.114)
Волновое уравнение (12.50) есть линейное уравнение, и поэтому
согласно принципу суперпозиции каждому слагаемому в (12.113) со-
ответствует свое решение. Так, Q11 отвечает за появление второй
гармоники в волне p1(x,t), а Q22 обусловливает появление второй гар-
моники в волне p2(x,t). Это, как уже мы понимаем, приведет к изме-
нению профиля взаимодействующих волн. Слагаемое Q12 собственно
и определяет взаимодействие волн.
Поскольку ..12pp можно записать в виде
()(){….=.+..±+()()}………1212cos,tkkx
(12.115)
то, согласно (12.115), слагаемое Q12 делится на две компоненты, кото-
рые имеют смысл вынуждающих сил суммарной частоты (.1 + .2) и
разностной частоты (.1 – .2). Под их влиянием в среде возникают
волны суммарной и разностной частот, которые являются следствием
нелинейного взаимодействия волн с частотами .1 и .2.
Рассмотрим компоненту разностной частоты (.1 – .2). Это связано
с тем, что во многих случаях данная компонента представляет наи-
больший интерес, ведь в реальной среде за счет поглощения все вы-
сокочастотные составляющие быстро затухают.
После дифференцирования в (12.114) находим
()()()…=±..+………..22121212124001AAQc()()………1212cos.tkkx
(12.116)
Под действием вынуждающей силы (12.116) в среде возникает волна
разностной частоты (.1 – .2):

()……=……
..
12120()cos.pBxtxc
(12.117)
Очевидно, характер изменения амплитуды ()Bx этой волны зави-
сит от направления распространения волн p1(x,t) и p2(x,t). Действи-
тельно, если волны распространяются в одном направлении, то фазы
вынуждающей силы .
12Q и волны .p совпадают в каждой точке сре-
ды, ведь (k1 – k2)x = (.1 – .2)x/c0, и наблюдается синхронизм. В этом
случае В(х) будет нарастать линейно с координатой х, ведь во время
распространения именно эта фазовая синхронность обеспечивает по-
стоянное поступление энергии к волне .p.
Если волны распространяются навстречу друг другу, то явление
синхронизма отсутствует, ведь ()()+….12120kkxxc. В этом случае
можно говорить о некоторых пространственных биениях и, разумеется,
возбуждение волны .p будет малоэффективным.
Из этих качественных рассуждений мы делаем важный вывод:
эффект возбуждения волны .p с разностной частотой (.1 – .2) в зна-
чительной мере зависит от направления движения волн с частотами
.1 и .2, и, как оказывается, является наиболее эффективным, когда
волны p1(x,t) и p2(x,t) распространяются в одном направлении.
Рассмотренная ситуация взаимодействия плоских волн в идеаль-
ной среде представляет собой достаточно упрощенную модель взаи-
модействия. Отметим основные моменты реальной среды, которые
оказывают влияние на эффект взаимодействия волн. Во-первых, это
наличие поглощения в реальной среде. Во-вторых, это дисперсия ско-
рости звука, хотя для таких сред, как вода и воздух, этот фактор не
имеет большого значения, ведь дисперсия практически отсутствует.
И, в-третьих, то, что сами волны не являются плоскими, а представ-
ляют собой пучки, которые за счет дифракции распространяются в
зону геометрической тени.
Таким образом, наличие в среде дисперсии приводит к несин-
хронному взаимодействию волн, распространяющихся в одном на-
правлении. Наличие поглощения и дифракционного расширения
пучка ограничивает зону эффективного взаимодействия волн, рас-
пространяющихся в одном направлении.
12.11. Параметрические излучатели
и приемники звука