ными колебаниями, или модами. Каждое нормальное колебание ха-
рактеризуется не только соответствующим значением частоты, а и
соотношением амплитуд колебаний, которые определяются равенст-
вами (2.89). Так, для нормального колебания с частотой
..+.+. из первого
уравнения (2.89) имеем
312221.
()
KAAm++
+
=
…

Поскольку определитель системы (2.89) равен нулю, такая же связь
между значениями 1A+и 2A+ вытекает и из второго уравнения (2.89).
Итак, исходная система имеет два периодические решения:
()()11exp,xtAit..
.=..()()22exp;xtAit..
.=..

(2.93)
()()11exp,xtAit++
+=..()()22exp.xtAit++
+=..
Амплитудные характеристики таких движений произвольные. Теория
дифференциальных уравнений обосновывает утверждение о том, что
представление искомых функций в виде
(2.94) ()()()111,
xtxtxt.+=+()()()222xtxtxt.+=+

является общим решением системы (2.86). Поэтому любое решение
системы (2.86) всегда можно представить в виде суммы частных ре-
шений (2.93). С физической точки зрения это означает, что любое
свободное движение системы, т.е. движение при произвольных на-
чальных условиях, представляет суперпозицию двух нормальных ко-
лебаний. Конкретные значения их амплитудных характеристик будут
определяться начальными условиями (2.87). Если собственные часто-
ты системы некратные (т.е. +. . n.-, где n — целое число), то колеба-
ния, строго говоря, будут непериодическими.
Установленные свойства свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы являются конкретным проявлением общей зако-
номерности в теории колебаний. Для любой колебательной системы
свободное движение есть суперпозиция нормальных колебаний (перио-
дических движений), число которых равняется числу степеней свободы
системы. Итак, нормальные колебания являются важной общей ха-
рактеристикой системы, которые определяются только свойствами
самой колебательной системы.
Полная характеристика нормального колебания в системе предпо-
лагает не только задание его частоты. Как видно из соотношения
(2.89), каждое нормальное колебание имеет специфическое распреде-
ление амплитуд по степеням свободы. Некоторые их свойства уста-
навливаются с помощью данных о частотах нормальных колебаний.
Так, исходя из первой формулы (2.89) и принимая во внимание (2.91),
имеем:

223122222211111, ,
mKAAAmm…
.
..
.==…….

223122222211111, .
mKAAAmm+++
+
++
.==…….
(2.95)
Итак, подставив (2.95) в формулы (2.93), получаем частные решения
уравнений (2.86), которые описывают нормальные колебания систе-
мы.
На частоте ..:
()
22122211exp,
mxAitm..
.
.
.=……

(2.96)
()22exp.xAit..
.=..
Поскольку всегда 1..<., движение парциальных систем происходит
в фазе (рис. 2.17). Такие колебания называют симметричной модой.
На частоте +.:

()()
22122211exp,
mxtAitm++
+
+
.=.
...

(2.97)
()22exp.xAit++
+=..
Поскольку всегда .+ > . 1, движение парциальных систем происходит
в противофазе (рис. 2.18). Имеем антисимметричную моду.
Если m1 = m2, K1 = K2, то . 1 = . 2, и согласно (2.95) соотношение
амплитуд колебаний парциальных систем для симметричной моды
имеет вид , а для антисимметричной: 1AA.=
12AA++=..

Рис. 2.17. Примеры симметричной
моды:
а — синфазное движение системы
вправо; б — влево
Рис. 2.18. Примеры антисиммет-
ричной моды:
а — противофазное движение масс
на сближение; б — отдаление

Частные решения (2.96) и (2.97) определяют возможные периодические
движения в системе с двумя степенями свободы. Понятно, что они возника-
ют при особых начальных условиях, которые соответствуют данному
нормальному колебанию. Если, например, при m1 = m2, K1 = K2 в на-
чальный момент времени сместить массы m1 и m2 в одном направле-
нии на одинаковую величину, а потом отпустить их, то система нач-
нет колебаться с частотой .. (рис. 2.17). Если сделать то же самое,
но при этом массы m1 и m2 сместить в противоположных направлени-
ях, то в системе начнут возбуждаться колебание с частотой (рис.
2.18).
+.

2.5.2. Характеристики связи в системе
Рассмотрим влияние коэффициента связи .2 на характе-
ристики колебательной системы. Проанализируем формулу (2.92) для
нормальных частот системы. Если . > 0, то 1…., а . Чем
больше коэффициент связи, тем больше нормальные частоты отдаля-
ются от парциальных частот. Вместе с этим отличие .1 от .2 влияет
на степень близости нормальных и парциальных частот. Если парци-
альные частоты равны одна другой (.1 = = .2), то
, и имеем наибольшее влияние .2 на разность
между нормальными и парциальными частотами. Если .1 и .2 значи-
тельно различаются (
2+…222221,
.+.=….=.+..1<<. или 1.>>.), то нормальные частоты
близки к парциальным.
Для более полного описания влияния связи в системе целесообраз-
но ввести такие характеристики нормальных колебаний, как коэф-
фициенты распределения амплитуд k– и k+, которые равны отноше-
ниям амплитуд колебаний парциальных систем в каждом из нормаль-
ных колебаний. Из формул (2.95) имеем:

22122121,
mAkmA.
.
.
.
.==….

22122121.
mAkmA+
+
+
+
.==….
(2.98)

Поскольку на частоте .–
происходит синфазное движение масс m1 и
m2, то коэффициент k– всегда положительный. Если, наоборот, на
частоте имеем противофазное движение масс m1 и m2, то коэффи-
циент k+ всегда отрицательный.
+.
При равенстве парциальных частот (.1 = .2) коэффициенты рас-
пределения амплитуд определяются так: 21/kmm.=,
21/km+=.. Таким образом, если системы неидентичные, то ам-
плитуды колебаний в парциальных системах разные даже при одина-
ковых парциальных частотах. Если системы идентичные (,
), то коэффициенты распределения по модулю равны едини-
це. Это означает равенство амплитуд колебаний в обеих парциальных
системах для двух нормальных колебаний.
12mm=
1KK=
Используя выражения (2.98), переписываем (2.96) и (2.97) в виде
(2.99) ()()12exp,xtAkit…
.=..()()22exp;xtAit..
.=..
(2.100) ()()12exp,xtAkit+++
+=..()()22exp.xtAit++
+=..

Как следует из (2.99), (2.100), в каждом из нормальных колебаний ам-
плитуды имеют постоянное отношение k– или k+, которое не зависит
от начальных условий.
Проведенные исследования показывают, что характер взаимодей-
ствия между парциальными системами определяет не только сила
связи (.2), но и степень близости парциальных частот. Именно степень
близости собственных частот парциальных систем, т.е. (.1 – .2), дает
тот внутренний масштаб, по которому необходимо оценивать величи-
ну связи в системе. В соответствии с этими рассуждениями Ман-
дельштам ввел понятие “связанности” [32, с. 254—255], параметром
которого является коэффициент связанности:

222212.
..=
…
(2.101)
С учетом (2.92) запишем формулы для коэффициентов распределения
амплитуд (2.98) через коэффициент связанности:
21212,11mAkmA.
.
.
.==.
+..

21212.11mAkmA+
+
+
.==..+
.+
(2.102)
Согласно формуле (2.102) для малой связанности, когда . > 0