волн, длины которых довольно малы при относительно небольших
частотах, необходимые уровни нелинейности достаточно просто по-
лучить в воде и в воздухе. Поэтому они оказываются удобным объек-
том для физического эксперимента.
Вообще исследования в области нелинейной акустики приобре-
тают все большее практическое значение, причем круг таких про-
блем сейчас существенно расширился. В качестве примера приве-
дем использование нелинейных эффектов распространения звука в
приборах неразрушительного контроля, которые используются в
промышленности и медицине. В приборах с малой интенсивностью
звука, где процесс взаимодействия звуковых волн со средой являет-
ся линейным, используется одно уникальное свойство звуковых
волн — их возможность проникать на достаточно большую глубину.
Акустическая “прозрачность” материала и биоткани позволяет ульт-
развуку (обычно это частоты в диапазоне от 500 кГц до 15 МГц)
“считывать” в среде необходимую информацию и переносить ее в
приемное устройство, где происходит обработка рассеянной волны
или прошедшей волны через среду. В последнее время в промыш-
ленности, строительстве, геофизике и медицине все большее внима-
ние уделяется нелинейным методам неразрушающего контроля и
диагностики. Эти методы открывают принципиально новые воз-
можности для получения информации о свойствах среды. Нелиней-
ная диагностика использует свойство акустической волны “запоми-
нать” свойства своего “партнера” — другой волны, с которой она пе-

ресекается в некоторой конечной области пространства, а также
“запоминать” физические параметры того объема среды, где возник-
ло пересечение волн. Ко второй группе нелинейных акустических
методов, которые используются в биологии и медицине, можно от-
нести “силовое” воздействие звуковой волны значительной мощно-
сти. Примерами областей применения данного свойства являются
ультразвуковая терапия и хирургия.
Вообще количество научных работ, посвященных вопросам нели-
нейной акустики, не уменьшается. Много интересной информации
по нелинейной диагностике можно найти в обзоре [42]; дополни-
тельном выпуске “Акустического журнала” (2005 г.), посвященном
смежным с акустикой и геофизикой вопросам.
Природа, действительно, нелинейна и многогранна по своим про-
явлениям. Однако вместе с осмыслением исследователями этого фак-
та пришло и понимание того, что практически вся многогранность
нелинейных волновых процессов может быть сведена к небольшому
количеству типичных ситуаций, которые описываются с помощью
одних и тех же уравнений (их называют эталонными), или, другими
словами, с помощью небольшого количества математических моде-
лей. Вообще в целом ряде научных исследований понятие “понимаю”
означает “могу рассчитать, могу использовать”. В науках о нелиней-
ных явлениях “понимаю” значит “могу предложить достаточно про-
стую модель”. Это очень важный момент! В данном разделе рассмот-
рим свойства ряда эталонных уравнений и тем самым сделаем пер-
вый шаг в мир нелинейных волновых процессов.

12.2. Простые волны
12.2.1. Волны Римана
Рассмотрим распространение плоской волны в идеальной
среде, которая позволяет исследовать волновые процессы в газе или
жидкости при отсутствии поглощения. Параметры невозмущенной
среды: .0 — плотность, Р0 — давление. Пусть плоская волна распро-
страняется вдоль оси Ох декартовой системы координат. Такое
предположение делает задачу одномерной, что естественно облегча-
ет ее анализ. Исходными уравнениями служат уравнения идеальной
жидкости (см. раздел 4), которые для одномерного движения запи-
шутся в виде
уравнение движения

……..+=……..
Ptxx,
(12.3)
уравнение неразрывности

* Риман (Riemann) Георг Фридрих Бенгард (1826—1866) — немецкий мате-
матик.

…..
.+.=.
…xx, (12.4)
уравнение состояния
Р = Р (. ) или . = . (Р ). (12.5)
Напомним, что . — колебательная скорость частиц среды, . =
= .0 + .. — плотность среды, .. — переменная плотность, Р = Р0 + р —
давление в среде, р — акустическое давление.
Уравнение состояния можно записать в виде ряда
()()
.=..=…….
=+….+….+…………..00220021…
2PPPP (12.6)
Здесь целесообразно сделать следующее замечание. Нелинейность
уравнений движения (12.3) и неразрывности (12.4) не обусловлены
свойствами среды. Поэтому такую нелинейность называют геомет-
рической. Наоборот, в уравнении состояния (12.6), которое связывает
между собой приращения давления и плотности, нелинейные члены
обусловлены свойствами среды. Такую нелинейность называют физи-
ческой.
В разделе 4 при условии, что число Маха М << 1, была проведена
линеаризация системы уравнений (12.3)—(12.5) и получено волновое
уравнение. Сейчас не будем пренебрегать нелинейными членами, а
попробуем получить решение системы уравнений (12.3)—(12.5).
Впервые такое решение получил Риман* в 1860 г. Задача о распро-
странении плоской волны в идеальной среде является одной из не-
многих задач, которая дает возможность получить точное решение.
Согласно системе уравнений (12.3)—(12.5), волновой процесс опи-
сывается двумя функциями: колебательной скоростью v(x, t) и плот-
ностью .(x, t) или давлением P(x, t). Последние связаны между собой
через уравнение состояния . = .(P) или P = P(.). В случае линейной
теории для описания плоской волны было достаточно одной функции,
поскольку справедливы соотношения (12.1).
Итак, для описания нелинейной волны нужно знать две функции:
.(x, t) и P(x, t) или .(x, t). Сделаем следующее предположение: пусть
одна из этих функций может быть выражена через другую. Вообще
волновой процесс, в котором все параметры, описывающие этот про-
цесс, могут быть определены в виде функций одного из них, напри-
мер,
. = . (v), P = P (v) или v = v (P), . = . (P), (12.7)

называют простой волны. Очевидно, простые волны являются обоб-
щением бегущих линейных волн. Однако если функциональная зави-
симость содержит интегралы или производные, то волна не является
простой. Физически это означает появление дисперсии, т.е. зависи-
мость эволюции волнового возмущения от его спектрального состава.
Пусть давление P(x, t) является функцией колебательной скорости
v(x, t). Тогда производная
…=
…
PdPxdx, а для производной
…x
с учетом
уравнения состояния . = .(P) имеем
()…..
=
….
PdPxPd. Это предполо-
жение приводит уравнения (12.3) и (12.4) к виду

…….+..+=
….
0,dPtxdx
(12.8)

…………+.+=
……..
0.dPPxPxPdt

Вспомним, что
=
…=..
..0201PPddPc
определяет скорость линейной волны
(P0 и .0 — давление и плотность невозмущенной среды). По аналогии
обозначим производную
.=
21ddPc. Что определяет величина с? Оче-
видно, это скорость волны бесконечно малой амплитуды (линейной
волны), но в среде с параметрами Р и ., т.е. Р и . — средние значения
давления и плотности на некотором участке. Именно при этом сред-
нем значении давления определяется производная ../.Р. Поэтому ве-