2.4. Примеры колебательных систем
с двумя степенями свободы
В предыдущих параграфах изучалось поведение колеба-
тельных систем с одной степенью свободы. Полученные знания служат
основой для изучения более сложных механических и акустических

систем, которые имеют две и более степеней свободы. Их число опре-
деляется количеством независимых переменных (обобщенных коорди-
нат), которые необходимы для полного описания движения системы.
Сосредоточим внимание на изучении системы с двумя степенями сво-
боды. Примеров таких систем можно привести множество. Некоторые
из них представлены на рис. 2.14. Важным моментом при изучении
сложной системы есть возможность рассматривать ее как систему, ко-
торая состоит из отдельных подсистем с одной степенью свободы, свя-
занных одна с другой. Например, систему, изображенную на рис. 2.14,
а, можно рассматривать как систему, состоящую из двух осциллято-
ров, соединенных между собой с помощью пружины. Отдельные сис-
темы с одной степенью свободы, из которых составляется исследуемая
система, называют парциальными. Принятый способ выделения пар-
циальных систем определяет и выбор обобщенных координат для опи-
сания движения. Например, для системы на рис. 2.14, б — это углы .1
и .2. Следует отметить, что выделенные парциальные системы в этом
случае имеют общий элемент — пружину, которая соединяет маятни-
ки. Выбор парциальных систем (как и обобщенных координат) неодно-
значный. Так, для системы на рис. 2.14, в равноправными есть такие
пары координат: x1, x2 и x0, ..

Рис. 2.14. Примеры колебательных систем с двумя степенями свободы

Соответствие между парциальными системами и обобщенными
координатами устанавливается таким образом: парциальная система,
которая соответствует данной координате, образуется из полной сис-
темы в ситуации , когда все координаты системы, кроме данной,

равны нулю (т.е. неподвижны). При этом нулевое значение обобщен-
ных координат отвечает положению равновесия. Для системы на рис.
2.14, в обобщенным координатам x1 и x2, соответствуют такие парци-
альные системы: для x1 — это вращение балки вокруг точки 2 закреп-
ленного конца пружины K2, для x2 — это вращение балки вокруг точ-
ки 1 закрепленного конца пружины K1. Координаты x0, . определяют
такие парциальные системы: x1 — поступательное вертикальное дви-
жение балки; . — вращательное движение вокруг оси, которая прохо-
дит через центр масс балки.
2.5. Свободные колебания в системе с двумя
степенями свободы
Колебания системы с двумя степенями свободы исследуем
на модели (рис. 2.15), которая состоит из двух масс m1 и m2, двух
пружин K1 и K2 и соединяющей пружины . Пусть демпфирование в
системе отсутствует. При нахождении смещений масс m1 и m2 с по-
мощью обобщенных координат x1 и x2 получаем следующие парциаль-
ные системы:
3K
1) масса m1 закреплена между пружинами K1 и K3;
2) масса m2 закреплена между пружинами K2 и K3.

Рис. 2.15. Колебательная система

Рассмотрим свободные колебания исходной системы. Наличие
двух степеней свободы приводит к появлению двух уравнений, кото-
рые описывают движение системы. Первое уравнение будем иметь,
используя второй закон Ньютона, в проекции на горизонтальную ось
для массы m1: 11mxF=….
1Kx11mx….
2m, где F — сумма двух сил: силы упругости пру-
жины K1, равной , и силы упругости пружины K3, равной
Итак,
1(312.
Kxx.11312(.KxKxx=…
22mx….
Аналогично, уравнение
движения массы приобретает вид ()22321.KxKxx=… Пе-
репишем полученные уравнения:
1113132()0,mxKKxKx++.=…. 2223231()0mxKKxKx++…..
или

23111210,
Kxxxm+..=….
23222120,
Kxxxm+..=…. (2.86)
где 21311KKm+
.= и 2222KKm+
.= — собственные частоты первой и
второй парциальных систем. При дальнейшем изложении для опреде-
ленности будем считать, что 12….
Уравнения (2.86) описывают свободные колебания системы с дву-
мя степенями свободы. Чтобы выделить конкретную колебательную
ситуацию, необходимо задать начальные условия:
(0)
11(0), xx=11(0),x=…
(0)
22(0), xx=22(0).x=…
(2.87)

2.5.1. Нормальные колебания
Система дифференциальных уравнений (2.86) имеет толь-
ко четные производные от искомых функций. В связи с этим ее мож-
но свести к алгебраической системе, используя в качестве пробных
решений выражения
11()cos(),xtat=… 22()cos(),xtbt=…
или
()11()exp,xtAit=..()22()exp.xtAit=.. (2.88)
Последние выражения более удобны с точки зрения учета фазовых
соотношений, их и будем использовать. При этом, конечно, физиче-
ское содержание в полученном комплексном решении будет иметь его
действительная часть.
Выражение (2.88) имеет три произвольные величины: A1, A2, .. Их
нужно выбирать так, чтобы эти выражения удовлетворяли исходной
системе уравнений (2.86). После подстановки (2.88) в (2.86) и сокра-
щения на ()expit.. получаем такую систему линейных алгебраиче-
ских уравнений:
()22311210,
KAAm….=

()22312220.
KAAm.+…=
(2.89)

Соображения, которые обусловили выбор искомого решения в ви-
де (2.88), носили формальный математический характер. Искомое
решение — периодические функции от времени — не соответствует
интуитивному представлению о разнообразии возможных типов дви-
жения в системе с двумя степенями свободы. В связи с этим можно
говорить, что на данном этапе мы стараемся найти достаточно ча-
стный случай движения системы — периодическое движение.
Система уравнений (2.89) является линейной и однородной отно-
сительно неизвестных величин A1 и A2. Нетривиальное решение такой
системы существует только при условии равенства нулю ее определи-
теля. Это условие приводит к такому уравнению для определения час-
тоты возможного периодического движения в системе:
()()22224120,……..=
24312.
Kmm.= (2.90)
Коэффициент
2312Kmm.= (2.91)
называют коэффициентом связи, поскольку в формуле присутствует
жесткость соединительной пружины K3, которая определяет упругие
силы связи между парциальными системами.
Характер решений этого уравнения проще интерпретировать гео-
метрически. На рис. 2.16 изображен график функции
()()221g.=…()00g>()2g.>
2.
.2()222……2.. Поскольку()()22120,0gg.<.<
()20g.=
2.
.22.21.
и
, при >., уравнение всегда имеет
два действительных корня, которые далее будем обозначать и .
Как правило, больший корень уравнения превышает значение квад-
рата большей парциальной частоты
2+
.2+
.2.
.
> . Для меньшего корня
всегда выполняется неравенство < . Уравнение (2.90) до-
вольно простое, и его решение запишем так:
()22222212211422±
.+..=±…+ (2.92)

Рис. 2.16. График функции ()2g.

Таким образом, в рассмотренной системе с двумя степенями сво-
боды возможные два периодические движений с частотами и .
Эти частоты определяются только внутренними свойствами колеба-
тельной системы, и их можно назвать ее собственными частотами, а
соответствующие колебания — собственными колебаниями. Эти осо-
бые типы свободного движения в системе называют также нормаль-