учитывая при этом “условность”, о которой выше шла речь. Понятно,
что если для частот внешнего воздействия ., близких к .0, справедливо
соотношение ….3||| (ведь …1), то для других частот . такое усло-
вие может не выполняться. Разделив (11.117) на .3, перепишем вы-
ражение в следующем виде (с вариантом жесткой нелинейности):
()…..=+..+..+…..
322211333331244
(11.127)

Рис. 11.21. Резонансная кривая для амплитуды третьей гармоники

Как и для уравнения основного резонанса (11.121), можно постро-
ить кривую (см. рис. 11.21), которая представляет зависимость моду-
ля амплитуды третьей гармоники |.3| от безразмерной частоты
3. = 3. /. 0. Поведение резонансной кривой показывает, что значи-
тельную амплитуду утроенной частоты 3. можно наблюдать не при
3. . . 0, а при 3. > . 0, что требует выведения рабочего режима сис-
темы в эту область частот. Действительно, как следует из (11.127), при

().=+..2213132 имеем .=.3313. И только при условии
возможен выход на ветвь А, где амплитуда колебаний утроенной час-
тоты может стать достаточно существенной. Выход системы на дан-
ный режим возможен за счет постепенного изменения частоты
внешней силы, например, начиная с . = . 0/3. Подобная ситуация
для основного резонанса представлена на рис. 11.18.
.>.03
Как следует из рис. 11.21, возможно существование различных
режимов колебаний утроенной частоты (ветви А и В) и установив-
шийся режим зависит от начальных условий и ”истории” системы.
Эта особенность аналогична соответствующим свойствам для основ-
ного резонанса. Естественно учет демпфирования внесет понятные
изменения в ход резонансной кривой.
Нелинейные колебательные системы имеют также свойство гене-
рировать субгармоники, т.е. колебания, частоты которых связаны с
частотой внешнего воздействия . соотношением . n = . /n, n = 2,3,4,…
Возникновение этих колебаний можно объяснить, исходя из следующих
физических рассуждений. Как известно, для линейного уравнения
общее решение имеет вид суммы двух слагае-
мых: одно из них описывает вынужденные колебания системы с час-
тотой m. 0, а второе соответствует свободным колебаниям с частотой
. 0, причем последние зависят от начальных условий. Однако при на-
личии в линейной системе демпфирования, свободные колебания за-
тухают и в системе остаются чисто вынужденные колебания с часто-
той внешнего воздействия . = m. 0. В нелинейной системе все гармо-
ники взаимосвязаны, так что ни одна из них не может измениться,
не влияя на другую; поэтому колебания с частотой m. 0 могут порож-
дать и поддерживать гармонику с частотой . 0, а отсюда возможно
возникновение явления резонанса.
.+..=…..2000cos()Fm
Снова вернемся к консервативному (Q > .) осциллятору (11.110) с
жесткой кубической нелинейностью, учитывая “условность” дальней-
шего анализа. В системах этого типа чаще всего наблюдаются суб-
гармонические колебания с частотой . /3, где . — частота внешнего
воздействия. Обратим внимание именно на эту субгармонику.
Исходя из физических соображений, учтем наличие субгармоники
в отклике системы и запишем решение в виде
.(t) = .1/3cos(../3) + .1cos(..) + …
В первом приближении будем использовать два первых слагаемых
этого выражения. После подстановки решения .(t) = .1/3cos(../3) +
+.1cos(..) в уравнение (11.110) (при Q > .) его левая часть будет
иметь вид, подобный соотношению (11.114), а именно:
A1/3cos(../3) + A1cos(..) + …, где A1/3 и A1 — функции амплитуд .1/3 и

.1. Отсюда в первом приближении для выполнения уравнения дви-
жения получим A1/3 = 0 и A1 = 1, или
()…..+..+.+..=….
..
2221311311331294
(11.128)
()()…+..+..+.=23231113131164
(11.129)
Прежде всего, следует отметить, что системе уравнений (11.128),
(11.129) удовлетворяет решение .1/3 = 0, которому соответствуют вы-
нужденные колебания с частотой внешней силы. Действительно, если
положить .1/3 = 0, то уравнение (11.128) будет выполняться всегда, а
(11.129) будет иметь вид уравнения (11.121), которое получено как
первое приближение при исследовании основного резонанса.
Если допустить, что .1/3 . 0, то уравнение (11.128) можно разде-
лить на .1/3. Тогда оно станет квадратичным уравнением относитель-
но как .1/3, так и .1. Решив его относительно .1/3, получим
()..
…=..±…
……
21312111619227
(11.130)
Для того чтобы .1/3 была действительной величиной и имела физиче-
ский смысл, необходимым является следующее условие:
()…..
.2211697027
(11.131)
или
……=+..22221189,916
(11.132)
Таким образом, если частота вынуждающей силы будет увеличивать-
ся, то субгармонические колебания возникнут только тогда, когда ве-
личина . достигнет значения .*, при котором амплитуда колебаний
будет равна .1/3 = –.1/2.
Если полагать, что . << 1, то формула (11.130) примет простой вид:
()..±..
.21349,27
(11.133)
а условие (11.132) можно представить в виде: . > .0 = 3. Для получе-
ния соответствующего приближения основной амплитуды .1, следует
решить уравнение (11.129), содержащее в себе все слагаемые, кроме
.3134

..31311
.Отм11.374
.=+.2денные колебания с частотой . практически полность
субгармонические колебания с частотой . /3. Как и для основного ре-
зонанса системы и резонанса на гармониках, следует особенно отме-
тить важность соответствующих начальных условий для возникнове-
ния субгармонических колебаний. Но если субгармонические колеба-
ния возникают, то их амплитуда может значительно превышать ам-
плитуду основных колебаний, частота которых равна частоте внеш-
ней силы ..
При проведении анализа не учитывались силы демпфирования.
Понятно, что их наличие уменьшает амплитуду субгармонических ко-
лебаний, а п
ания вообще могут не возникнуть.
Таким образом, реакция нелинейной системы на воздействие си-
нусоидальной силы в общем случае не является гармонической. Нали-
чие в отклике системы гармоник или
знак нелинейной системы. Возможны даже резонансные явления
на частотах гармоник или субгармоник. Все это очень важно в кон-
кретных ситуациях. Приведем два примера.
Как известно, наше ухо является нелинейной системой. Нелиней-
ность слухового аппарата проявляется в том, что при действии на ба-
рабанную перепонку довольно громкого синус
оидального звука с час-
тотой . в нем появляются гармоники с частотой 2., 3. и т.д. По-
скольку в сигнале, действующем на ухо, этих гармоник нет, то их на-
звали субъективными гармониками. Их наличие определяется мето-
дом звукового зонда: если к звуку, под действием которого возникают
субъективные гармоники, прибавить второй звук, частоту … и гром-
кость которого можно изменять, то при приближении частоты … к
частоте субъективной гармоники .2 на фоне громкого основного зву-
ка можно услышать биения, которые возникают вследствие взаимо-
действия звука зонда и субъективной гармоники (см. параграф 2.7).
Наиболее резкие биения прослушиваются при условии равенства ам-
плитуд звука зонда и субъективной гармоники. Поэтому, отрегулиро-