мени от энергии накопления определяет скорость ее изменения. Вто-
рое слагаемое в выражении (2.78) представляет собой мощность сил
демпфирования, которые преодолевает внешняя сила.
Таким образом, сравнивая выражения (2.76) и (2.78), можно при-
дать двум слагаемым в формуле (2.76) указанный выше физический
смысл, а именно: первое слагаемое обуславливает скорость изменения
энергии накопления E, а второе — мощность сил демпфирования. Со-
гласно формуле (2.76) производная по времени от энергии накопления
dE/dt может быть больше и меньше нуля в некоторый момент време-
ни. Если dE/dt > 0, то это обуславливает поток энергии от источника
в систему, а при dE/dt < 0 — наоборот, т.е. имеем энергообмен между
источником и системой. Интересно, что на резонансе, когда ,
имеем dE/dt = 0, т.е. энергия накопления сконцентрирована в систе-
ме, а работа источника связана только с преодолением сил демпфи-
рования. Второе слагаемое в формулах (2.76) и (2.78) всегда больше от
нуля , что определяет поток энергии от источника к системе в
любой момент времени.
0.=.2()R.>..
Существенная разница между двумя слагаемыми мгновенной
мощности видна при рассмотрении среднего во времени потока мощ-
ности. Найдем среднюю за период 2T=.. мощность ,W.., используя
выражение (2.76). Учитывая, что

01(),
TWWtT..=. (2.79)
при этом ()()
01sincos0,
TttdtT..=. ()2011cos,
2TtdtT.=. имеем

()()
2220222220.22FWZm….==
..
…+….
..
(2.80)
Как видим, первое слагаемое в (2.76), где наблюдается сдвиг фаз ме-
жду ()Ft и , равный 90°, не влияет на ()t…W… Средний поток мощ-
ности определяется синфазной составляющей в выражении для ()Wt,
т.е. вторым слагаемым.

Теперь запишем среднюю мощность W.., используя выражение
(2.78) для мгновенной мощности ()Wt. Средняя за период энергия на-
копления равняется

222220KП,
2244mmAmmEE….+.=…+…=+.. (2.81)
где и A — амплитуды скорости и смещения в системе. Учитывая,
что , можно переписать выражение (2.81) в виде:
A.A.=.
()222КП0.4EEA.+.=.+.m (2.82)
Отметим, что слагаемое с 2. определяет среднее значение кинетиче-
ской энергии, а слагаемое с 20. — среднее значение потенциальной
энергии. Обе энергии равны между собой только в случае, когда
. 0.=.
В установившемся режиме среднее значение энергии
есть величина постоянная, поэтому
КПEE.+
КП()/dEEdt.+.=. Учитывая этот
факт, согласно выражению (2.78) имеем

222.22AAWR….== (2.83)
Понятно, что формулы (2.80) и (2.83) совпадают, поскольку согласно
(2.71) амплитуда скорости 0AFZ.=.
Значение среднего за период потока мощности от источника к
системе в установившемся режиме колебаний определяется демпфи-
рованием (R). Как правило, считается, что потери энергии на преодо-
ление сопротивления являются вредными. Фактически же это не все-
гда так. В акустических системах введением демпфирования R часто
моделируют процессы, связанные с излучением звука колебательной
системой. В этом случае в системе за период теряется мощность, свя-
занная с мощностью, которая переносится созданными звуковыми
волнами. Это обстоятельство обусловливает специальные названия,
принятые в акустике, для двух составляющих мгновенного потока
мощности в (2.76). Для синфазной (скорость—сила) составляющей
22()~2cos()Wtt…(ImZ
принято название активная мощность. Состав-
ляющая, которая отвечает за часть колебательного движения, где си-
ла и скорость имеют сдвиг фазы на 90°, называется реактивной
мощностью. При сравнении (2.76) и (2.69) оказывается, что активная
мощность пропорциональна действительной части импеданса, а реак-
тивная — мнимой. В связи с этим вводятся понятия активной (Re Z)
и реактивной ) частей импеданса.

image description

Рис. 2.13. Кривая поглощения осциллятора

На рис. 2.13 изображена кривая зависимости W..
.
от частоты
внешней силы. По аналогии с рис. 2.11 этот рисунок характеризует
реакцию осциллятора на действие внешней силы. Изображенная кри-
вая называется кривой поглощения осциллятора. Острота максимума
определяется коэффициентом демпфирования R. Максимум приходит-
ся на частоту резонанса скорости
.0., когда энергия, которая отнима-
ется системой у внешней силы, максимальна. Если система высоко-
добротная и частота . близка к частоте 0., то амплитуды скорости
и смещения A приобретают большие значения, что обуславливает
значительное накопление энергии. При этом средний поток мощности
наибольший, и внешняя сила выполняет наибольшую работу по
преодолению сил демпфирования; это происходит при совпадении
направления движения в системе и действия внешней силы (разность
фаз между
A.W..
()t…
0.0.
и F(t) равна нулю). Наоборот, когда существенно от-
личается от , направление движения в системе в течение одной
части периода колебаний совпадает с направлением внешней силы, а в
течение другой части периода противоположно ему. Внешняя сила вы-
полняет как положительную (W > 0), так и отрицательную (W < 0) рабо-
ту, и за весь период робота будет небольшой, т.е. происходит энергооб-
мен между источником и системой. Таким образом, с энергетической
точки зрения явление резонанса обусловлено тем, что при совпадении
частот и реактивная мощность равна нулю, тогда имеем наи-
лучшие условия для перехода энергии от источника к системе. Явление
резонанса можно рассматривать как случай, когда под действием гар-
монической внешней силы система выполняет почти собственные ко-
лебания. При этом роль внешней силы сводится главным образом к
компенсации действующих в системе сил демпфирования.
.
Интересно отметить, что накопленная энергия КПEE.+ по срав-
нению с работой WT.., которую выполняет внешняя сила за период

колебаний 2T=.., характеризует добротность системы. Действи-
тельно, в соответствии с (2.82) и (2.83) имеем

()КП2222200224.22222mAEEWТAR.+..+..+.
==
......
(2.84)
Как видим, отношение КПEEWT.+
..
зависит от частоты .. Но вблизи резо-
нансной частоты, когда 0..., выражение (2.84) с учетом (2.61) приоб-
ретает вид
0КП1.222EEQWТ..+.
==
....
(2.85)
Соотношение (2.85) позволяет определить добротность системы Q, ес-
ли известны энергия колебаний КПEE.+ и затраты энергии ()WT..
за период, которые расходуются на преодоление сил демпфирования.
Пример 2.6. При каком отклонении от резонансной частоты энер-
гия вынужденных колебаний осциллятора уменьшается в два раза,
если добротность системы Q равна 50 или 500?
Решение. На рис. 2.13 частоты .1 и .2 — это те самые частоты, ко-
торые были введены при определении добротности (см. рис. 2.11).
Итак, 1,2.=..20+.+.. Разделив это выражение на , а также
учитывая равенство
0.2+
Q1,20.
02,=.. имеем
()
1,22011.2
Пре-
небрегая малыми величинами порядка 21Q
по сравнению с единицей
(1Q), получаем >>. Итак, при 50Q= (данная величина
не очень велика) энергия вынужденных колебаний уменьшается в 2
раза при отклонении частоты внешней силы на 1% от частоты .0, при
Q = 500 — на 0,1%.