новесия, при котором имеет место равенство сил отталкивания и
притяжение. Согласно рентгеноструктурному анализу для KCl
. Поскольку =
..
03,12Ar..=
..=.=..
..022100090,
rrdVedrrr
то отсюда

..=
280.9er
(11.73)

Рис. 11.8. График потенциальной энергии взаимодействия ионов противо-
положного знака в кристаллической решетке

Будем полагать, что смещения ионов в кристаллической решетке
от положения равновесия =0rr малы. Раскладывая функцию V(r) в
ряд Тейлора в окрестности точки r = r0, имеем
()()
===
……=++++…………….0002233023…,
2!3!rrrrrrdVxdVxdVVrVrxdrdrdr
(11.74)
где x = r – r0. Поскольку ()==
00,rrdVdr то изменение потенциальной
энергии, которая характеризует колебательное движение ионов вбли-
зи положения равновесия, определяется формулой (слагаемыми с
высшими степенями х пренебрегаем):
()()()
==
….
.=.+……..
….002233023.2!3!
rrrrxdVxdVVrVrVxdrdr
(11.75)
Используя формулу (11.73), получаем

…=
…
=.+==….
..0222311300029108,
rrdVeeKdrrrr

…=
….
=.=…..
..032234124000691011104.
rrdVeeBdrrrr
(11.76)

Согласно этим формулам перепишем соотношение (11.75) для потен-
циальной энергии колебательного движения в виде

=.
23().
26KxBxVx (11.77)
Тогда силу взаимодействия между ионами можно определить сле-
дующим образом:
=.=.+
2().
2dVBxFxKxdx
(11.78)
Первое слагаемое для V(x) представляет собой квадратичную зависи-
мость потенциальной энергии от величины x = r – r0, что характерно
для линейной колебательной системы; это слагаемое обусловливает
линейную составляющую в выражении для силы (11.78). Коэффици-
ент В характеризует нелинейную составляющую в восстанавливаю-
щей силе F(x).
Если колебания ионов настолько малы, что вторыми слагаемыми в
выражениях (11.77) и (11.78) можно пренебречь, то это приводит к
тому, что нижняя часть кривой потенциальной энергии на рис. 11.8
является параболической и ионы в кристаллической решетке выпол-
няют гармонические колебания относительно положения равновесия
x = 0 (т.е. r = r0). Возникает вопрос, что же произойдет при дальней-
шем увеличении энергии ионов (например, за счет нагревания), когда
следует учитывать и второе слагаемое в выражениях (11.77) и (11.78).
Запишем уравнение движения ионов в решетке:
=.+….22BmxKxx
или
.+.=….2200,2Bxxxm
(11.79)
где .=20Km — собственная частота колебаний ионов в линейном
приближении.
Представим уравнение (11.79) в безразмерном виде. Для этого
введем безразмерные время и координату:
..=0,t .=,xb
(11.80)
где b — характерный масштаб колебаний. Тогда, поделив уравнение
(11.79) на .20 и используя новые переменные, получим

……
+.=
.
2220, (11.81)

где ..===20(2)/(2)13/(2)BbmBbKbr (см. (11.76)) — параметр нели-
нейности. Рассмотрим случай слабой нелинейности, когда . << 1, т.е.
уравнение (11.81) имеет малый параметр.
Как и в предыдущем параграфе, будем искать решение диффе-
ренциального уравнения (11.81) в первом приближения, т.е. в виде
. = .(0) + ..(1). Подставляя выражение . = .(0) + ..(1) в уравнение (11.81)
и отбрасывая слагаемые, содержащие в себе .2 и .3, получим следую-
щее уравнение:
()........+++.=........2(0)(1)(0)(1)(0)0. (11.82)
Отсюда имеем
..+=....(0)(0)0 и ()...+=....2(1)(1)(0). (11.83)
Решение первого уравнения (11.83) запишем в виде .(0) = a cos. (в
нашей задаче начальная фаза не важна). Подставив его во второе
уравнение (11.83), с учетом тригонометрического равенства
cos2. = (1 + cos(2.))/2 запишем
()...+=+....
22(1)(1)cos2.22aa (11.84)
Частное решение этого уравнения таково: ()..=.
22(1)cos226aa. Итак,
решение с точностью до членов порядка .2 имеет вид (учтем, что
. = .0t):
()()()......
=+.2..
....
220coscos.
26aatatt (11.85)
В предыдущем параграфе был рассмотрен маятник как система
с кубической нелинейностью (см. (11.41)), а в данной задаче о коле-
баниях ионов в решетке кристалла речь идет о системе с квадра-
тичной нелинейностью (см. (11.79)). Интересно отметить, что в
рамках первого приближения при исследовании колебаний маят-
ника мы вынуждены были учитывать его неизохронность, а в сис-
теме с квадратичной нелинейностью (11.81) частота колебаний не
зависит от амплитуды колебаний а. Здесь нет противоречия. Если
бы рассматривалось колебание ионов в рамках второго приближе-
ния, т.е. когда ......=++(0)(1)2(2), то в решении было бы получено
бесконечно возрастающее во времени слагаемое. А это свидетельст-
вовало бы о том, что следует учитывать неизохронность колебаний.

. Больцман (Boltzmann) Людвиг (1844—1906) — австрийский физик.
.. Мощное звуковое поле в жидкости порождает маленькие парогазовые
пузырьки, которые под действием этого поля могут расти, захлопываться и
вызывать такие эффекты, как химические реакции, эрозия, излучение звука
в широком диапазоне частот [23].
Вернемся к решению (11.85). Напомним, что . = x/b = (r – r0)/b оп-
ределяет безразмерную величину отклонения ионов от положения
равновесия в решетке кристалла. Определим среднее за период
T0 = 2./.0 значение решения (11.85):
().....==.
02001.2TatdtT

Величина ...>0, она пропорциональна квадрату амплитуды коле-
баний а2, т.е. энергии. Это означает, что с ростом энергии колебаний
ионов увеличивается не только амплитуда колебаний, но и расстоя-
ние между ионами. Из курса физики известно, что энергия таких ко-
лебаний определяется произведением kT(абс), где k — постоянная
Больцмана., Т(абс) — абсолютная температура вещества. Отсюда, по-
лучаем следующее приближенное соотношение: … . а2 . Т(абс). Таким
образом, проведенный анализ нелинейной колебательной системы по-
зволил понять причины теплового расширения твердого вещества.

11.9. Собственные колебания газового пузырька
в жидкости
Еще в 1917 г. в связи с проблемой кавитации.. (от латин-
ского слова cavitas — полость) Рэлей вывел уравнение колебаний сфе-
рического пузырька газа, расположенного в идеальной несжимаемой
жидкости. Это уравнение представляет собой уравнение нелинейного
осциллятора. Конечно, нас интересуют его решения, описывающие
пульсации пузырька. Но помимо этого, уравнение Рэлея является за-
мечательной иллюстрацией построения математической модели фи-
зического явления. Поэтому выведем уравнение Рэлея.
Пусть пузырек выполняет пульсирующие колебания. Поместим на-
чало сферической системы координат в центре пузырька. Понятно,
что вследствие симметрии задачи все характеристики движения
жидкости вокруг пузырька зависят лишь от радиальной координаты
r. Учитывая этот факт, запишем исходные уравнения движения иде-
альной несжимаемой жидкости. В сферической системе координат
для скорости жидкости .r можно записать одномерное уравнение
Эйлера (см. п. 4.1.2):

…..
+.=.
….
1,rrrPtr
(11.86)
где . — плотность жидкости; Р — давление. Первое слагаемое в левой
части (11.86) определяет локальное ускорение, а второй — ускорение
переноса. Соответствующее уравнение непрерывности (см. п. 4.1.3)