значается как Z, Н . с . м–1 = кг . с–1, будет иметь вид

22220022miFZmi……………===.+..
………. (2.69)
Если частота 20Кm.= и характеристика демпфирования 2. = R/m,
то последнее выражение записываем так:
.KZRim.=+……
(2.70)
Как любую комплексную величину, импеданс можно представить в виде
Z = .Z .exp(i..), где
()
22202,
FZm…==.+…………
220tg2…..=
..
(2.71)
или

22,KZRm..=+…….
1tg.KmR….=…….
(2.72)
Итак, модуль .Z . равен отношению амплитуд внешней силы и колеба-
тельной скорости, а величина .. определяет разность фаз между
внешней силой и колебательной скоростью в системе.
Рассмотрим зависимость импеданса системы от частоты внешней
силы .:
• если . мала2200;m….>>.>>..
……
, то KZi.
.. Импеданс чисто
мнимый и положительный; он обратно пропорционален частоте . и

не зависит от R. Такой импеданс называют импедансом упругого ти-
па и говорят, что система управляется упругостью;
• если
200….
.,
20,m………<<...........
то Z . R. Импеданс действи-
тельный и зависит только от . Говорят, что система управляется
демпфированием;
R
• если . велика
20;mR....>>.>>..
…..
то Z . –i.m. Импеданс чисто
мнимый и отрицательный; он пропорционален частоте . и не зави-
сит от . Это импеданс массового типа, и говорят, что система
управляется массой.
R
Полученные результаты можно пояснить наглядными физически-
ми соображениями. Если частота внешнего действия . мала по срав-
нению с частотой .0, то в левой части уравнения (2.39) главную роль
сыграет только слагаемое Кх и потому Kx . F0cos(.t). Внешняя сила
тратится главным образом на преодоление упругой силы. Смещение
совпадает по фазе с внешней силой.
Наоборот, когда частота . значительно больше частоты .0, то глав-
ную роль играет слагаемое (mx ) и ….()0cos.mxFt…… В этом случае
внешняя сила, главным образом, тратится на то, чтобы придать массе
ускорение. Ускорение совпадает по фазе с внешней силой (а смеще-
ние противоположно по фазе).
В области резонанса слагаемые (mx….
KxK=
и (Кх), хотя и велики каждый
в отдельности, но приблизительно равны по величине и противопо-
ложны по знаку. Действительно, поскольку сдвиг фазы между внеш-
ней силой и смещением . . –./2 при . . .0, колебания происходят по
закону x(t) = Asin(.t). Если . близка к частоте 0Km.=, то
слагаемые 2sin()mxmAt=……. и sin(At.Rx…
в уравнении (2.39)
компенсируют друг друга. Таким образом, 0cos()Ft.. Внешняя
сила направлена только на преодоление силы демпфирования. Ампли-
туда скорости A.(.0) = F0/R и, если демпфирование мало, то A.(.0) ве-
лика; скорость совпадает по фазе с внешней силой.
Проведенный анализ свойств величины Z наглядно отображается в
частотных характеристиках рис. 2.12. Как видим, в окрестности час-
тоты резонанса .0 поведение осциллятора определяется демпфирова-
нием, т.е. величиной добротности Q. За пределами резонансной зоны
поведение графиков совпадает. Это есть принципиальный момент,
ведь вне резонансной зоны влияние демпфирования на колебательное
движение практически несущественно.

2.3. Энергетические характеристики процесса
колебаний
Рассмотрим свободные колебания. Энергия осциллятора
равна сумме кинетической ЕК и потенциальной ЕП энергий. Кинети-
ческая энергия KE=
K.0EK.=..
EE=
22m…
, а потенциальная определяется работой
упругих сил F=
П0=
при отклонении системы от положения равнове-
сия : Наличие силы трения в уравнении
движения осциллятора приводит к уменьшению амплитуды колеба-
ний во времени вследствие диссипации энергии. Поэтому производ-
ная dE/dt, где
02/2.dK.=.КПE+
/dEdtK./dE.=
mR.+..
, должна быть отличной от нуля и отрица-
тельной. Действительно, (mK=..+…….
()dtR=…….
, а используя уравнение
, получаем .+…., где . Итак, ско-
рость уменьшения энергии по величине равна мощности сил трения.
тертяRF.=..
Рассмотрим вынужденные колебания в установившемся режи-
ме. Для описания процесса обмена энергией между источником си-
лы и колебательной системой удобно ввести понятие потока мощ-
ности, определив его как скалярное произведение вектора силы на
вектор скорости в точке приложения силы:
.W=.Fv (2.73)
В каждом конкретном случае речь идет о произведении проекций
вектора силы и обобщенной скорости на избранную координатную
ось. При таком определении при вычислении значения W возможны
два случая: W > 0 и W < 0, т.е. случай совпадения направления силы и
скорости и случай, когда направления этих векторов противополож-
ны. Физически это означает, что в первом случае энергия перетекает
от источника к колебательной системе, а во втором — от системы к
источнику. Приведенное соотношение позволяет проанализировать
поведение W со временем при произвольном законе изменения силы
F(t). Детально остановимся на случае периодической внешней силы.
Поскольку речь идет о вычислении квадратичных характеристик ко-
лебательного смещения, то прямое использование комплексного ре-
шения уже невозможно. Причина этого ясна и связана с тем, что:
1212Re()ReRePPPP., где P1 и P2 — некоторые комплексные величины.
В связи с этим в приведенных выражениях для внешней силы и ки-
нетических характеристик колебательного процесса используем лишь
действительные части комплексных функций.

Для внешней силы 0()cos()FtFt=. смещение и скорость в системе
такие (см. (2.46)):
()
()()
()()()220022220cos2sin,
2Fttm…=….+………
…+….
..
(2.74)
()
()()
()()()220022220sin2cos.
2Fttm….=…..+………
…+….
..
..(2.75)
Тогда мгновенная мощность ()()()WtFtt=…
, которая обусловлена ис-
точником движения, определяется соотношением:
()
()()()()
()()
222220022220sincos2cos.
2FttWtm………+…….=
..
…+….
..
(2.76)
Как следует из (2.76), в системе с демпфированием мощность, по-
требляемая системой от источника энергии, является суммой двух
слагаемых. Для первого слагаемого характерно наличие сдвига фаз,
который равняется 90°, между внешней силой F (t) и скоростью сис-
темы (t). Второе слагаемое — синфазное, т.е. фазовый сдвиг между
F (t) и равен нулю. Следует отметить, что первое слагаемое в (2.76)
пропорционально мнимой части импеданса (см. (2.69)), а второе — дей-
ствительной части импеданса.
…
…
()t
Вместе с тем, поток мощности определяет скорость изменения пол-
ной энергии системы : L()/.WtdLdt=
К
Полная энергия L состоит из
кинетической энергии 2, потенциальной
22П02EKm=.=.. и внутренней U энергий. Внутренняя энергия U
определяется работой внешней силы против силы трения:
Итак, поток мощности ()
0.
tURd=…….
()()КП,
dEEUdEdUWtdtdtdt++
== (2.77)
где , или КEEE=+
()222011().
22dWtmmRdt..=.+..+……
… (2.78)

Выражение в квадратных скобках есть сумма кинетической и потен-
циальной энергий EКEE=+. По сути, это энергия E, которую нака-
пливает колебательная система к моменту времени t. Назовем ее энер-
гией накопления или просто энергией системы. Производная по вре-