тота собственных колебаний, начальная фаза. Для системы с демп-
фированием введем четвертую характеристику, которая служит ко-
личественной мерой демпфирования, добротность колебательной
системы . Рассмотрим вынужденные колебания системы в устано-
вившемся режиме. В соответствии с формулой (2.54) амплитуда коле-
бательной скорости
Q
()
()()
022220.2FAm…=
…+..
(2.59)
image description

Рис. 2.11. Частотная зависимость скорости осциллятора

Амплитудно-частотная характеристика А.(.) приведена на
рис. 2.11. Здесь частотный интервал .1 . . . .2 определяет частоты, на
которых кинетическая энергия системы не более, чем в 2 раза мень-
ше, чем на частоте .0. Интервал 2..=… называют шириной резо-
нансной кривой. Добротность системы определяется в виде
021.Q.=
…
(2.60)
Выразим величину .. = .2 – .1 через параметры колебательной
системы. Для этого, подставив в уравнение ()()0/2AA…=.
выражение (2.54), получим соотношение 2202…=±..220;.+..=.±
. Решение этих
уравнений дает такие корни: 220. Физи-
ческое содержание имеют лишь положительные корни. Поэтому пред-

полагаем, что 1.T.=
220,=..+.+. 222..=.+.+. Тогда
и добротность имеет такой вид: 212..=…=.
0,2Q.=
.
2Rm..=.
..
(2.61)
Итак, добротность системы — это отношение двух ее временных
характеристик. Уменьшение амплитуды собственных колебаний сис-
темы характеризуется постоянной времени затухания . = 1/. (см.
(2.38)). Учитывая этот факт, из формул (2.60) и (2.61) имеем важное
соотношение между шириной резонансной кривой вынужденных ко-
лебаний и постоянной времени затухания свободных колебаний:
… = 2. (2.62)
Как видим, они связаны обратно пропорциональной зависимостью.
Это есть общий результат в том понимании, что указанная зависи-
мость характерна для колебательных систем разной физической при-
роды. Уравнение (2.62) имеет практическое значение. Часто экспери-
ментально легче изучить поведение системы вблизи резонанса в ре-
жиме вынужденных колебаний, чем наблюдать время затухания. В
этом случае, определив .., из формулы (2.62) легко найти ..
Запишем одно полезное соотношение между логарифмическим
декрементом затухания . и добротностью Q:

()2220222.21
(2.63)
При Q = 1/2 имеем . > .. Это наблюдается на границе колебатель-
ного режима. При Q < 1/2 собственные движения в системе не коле-
бательные. В случае высокой добротности (Q >> 1) (2.63) заменяется
простым приближенным соотношением
,
Q… .Q..
.
(2.64)
В качестве примера приведем порядок величины добротности неко-
торых типов осцилляторов:
электрический контур — 50…500;
громкоговоритель (на низких частотах) — 3…10…10;
рояльная или скрипичная струна — 1000;
камертон — 3000;
кристалл кварца — 500 000.

Формулы (2.53), (2.54) для амплитуды смещения и скорости осцил-
лятора можно переписать, используя понятие добротности, в таком
виде:
ст2222200(),
11AQ..=
…..+………
(2.65)
ст22222200(),
11AQ….=
…..+………
0ст,
FK.= (2.66)
а также согласно формуле (2.58) и соотношению tgtg2…..=….
..
1tg.=.. выражение для сдвига фаз между F(t) и ()t…
в таком:
00tg,Q……=…….
.2…=.. (2.67)

Рис. 2.12. Частотные зависимости амплитуды смещения (а), амплитуды ско-
рости (б), сдвига фазы между внешней силой и скоростью осциллятора (в)

На рис. 2.12 приведены графики зависимостей А, А., .. от частоты
внешней силы . при различных значениях добротности Q. Кривые на
рис. 2.12, а, б показывают, что чем выше добротность системы, тем
“острее” резонансная кривая, т.е. вблизи резонансной частоты .0 пове-
дение графиков определяется демпфированием. За пределами резо-
нансной зоны поведение графиков совпадает, что связано с малым

влиянием демпфирования на колебательный процесс в окрестности
этих частот. Эти характерные особенности осциллятора мы еще рас-
смотрим в следующем параграфе.
Фазовые соотношения отображены на рис. 2.12, в. Как видим, сдвиг фазы
между скоростью и силой определяется неравенством 22…<.<.; сдвиг
фазы между откликом и силой изменяется в пределах –. < . < 0, т.е. отклик
всегда отстает от воздействия. Еще раз укажем, что для осцилляторов с
Q >> 1 (скажем, Q > 10) при . << .0
колебания осциллятора происходят
практически в фазе с внешним воздействием, а при . >> .0
— в противофа-
зе. Переход с одного состояния в другое при изменении частоты внешнего
воздействия наблюдается в довольно узкой полосе вблизи резонансной час-
тоты .0. Точно на резонансе (. = .0) сдвиг фазы . = –./2, а .. = 0. Укажем,
что при увеличении добротности кривые на рис. 2.12, в все больше прибли-
жаются к функции-ступеньке. Для осциллятора без демпфирования (Q > .)
. = 0 и .. = ./2 если . < .0
и . = –., .. = –./2 если . > .0.
Пример 2.5. Монокристалл сапфира в вакууме при низкой темпе-
ратуре имеет добротность Q = 108…109… Частота собственных коле-
баний монокристалла .0 = 104 c–1. Оцените, во сколько раз изменится
амплитуда свободных колебаний за сутки.
Решение. Добротность Q = .0/(2.), отсюда коэффициент затухания
. при Q = 108 равен . = 5 . 10–5 с—1, а при Q = 109 имеем . = 5 . 10–6 с–1.
Амплитуда колебаний кристалла через сутки, т.е. за промежуток вре-
мени t = 8,64 . 104 c, изменится в exp(.t) раз. При Q = 108 это составля-
ет приблизительно 75, а при Q = 109 — приблизительно 1,5 раза.
Амплитуду колебания системы на частоте 0. называют динамиче-
ским откликом системы .д, т.е. .д = А(.0). Тогда из формулы (2.65)
будем иметь соотношение:
дст.
Q.=. (2.68)
Таким образом, амплитуду установившегося вынужденного колебания
на частоте резонанса .0 можно определить, умножив величину пере-
мещения при статической нагрузке .ст на добротность системы Q. По-
нятно, что когда добротность системы Q >> 1, то амплитуда резонанс-
ных колебаний может достигать значительных величин! Система, ус-
тойчивая к внешнему статическому влиянию, может быть разрушена,
если внешняя сила удерживает частотные компоненты, которые сов-
падают с резонансной частотой системы. Именно поэтому необходи-
мым есть точный расчет резонансных частот разнообразных сложных
колебательных систем; например, мосты, корпусы самолетов и кораб-
лей, сложные электрические схемы, мощные электроакустические
преобразователи.

2.2.4. Комплексное механическое сопротивление
Из анализа поведения колебательной системы под влияни-
ем внешней периодической силы видно, что реакция системы зависит
не только от амплитуды внешней силы, но и от частоты воздействия.
Как новая важная интегральная характеристика процесса вынуж-
денных колебаний системы используется комплексный механический
импеданс (от латинского слова impedio — препятствую), или ком-
плексное механическое сопротивление. Эта величина определяется
как отношение комплексных амплитуд силы и скорости в режиме ус-
тановившихся колебаний системы. Если учесть (2.45) для .(t), то вы-
ражение для комплексного механического импеданса, который обо-