IIIIII00cosexpnnnnpppDyikxx+.
=
..0cos()().nnnCnJkr
(10.85)
Однако, как следует из рис. 10.18, в, конфигурация области II не по-
зволяет воспользоваться ортогональностью системы функций
, поскольку граница области II представляет со-
бой только часть окружности радиуса r0. Эту сложность можно пре-
одолеть, если для решения pII(2) дополнить границу области II до пол-
ной окружности радиуса r0. На рис. 10.18, в это штриховая линия в
области I ,
().=cos,0,1,2,…nn=0rr…0().=cos,0,1,2,…nn..||. Таким образом, мы получаем возможность,
воспользоваться ортогональностью системы функций
при выполнении граничных условий. Принци-
пиальным моментом является то, что при формировании граничных
условий на дополнительном участке границы (=0rr.0(,)
, …..0||) может
быть задано произвольное значение давления или колебательной ско-
рости. Пусть это значение определяется некоторой функцией .
Неизвестно, какой должна быть функция
.0(,)frfr, чтобы непрерывно

продолжить решение pII(2) на дугу r = r0, …..0||
.0.||,yh…0||,
..
….
00||
|
).=,0nyn. Все же, в каждой
конкретной задаче следует стремиться к уменьшению скачка функ-
ции на данном участке границы.
Итак, условия сопряжения в случае, когда >90°, будут иметь
вид (выберем вариант доопределения давления на участок r = r0,
): …..0||

=…
..
=….
IIIIII,
ppppxx=0,xx

..
=
..
IIIII,
pprr=0,rr (10.86)

II==…
=.=..
IIIII0(2)
00,,
(,),,|
pprrpfrrr

Алгебраизация первых двух уравнений в системе (10.86) осуществля-
ется с помощью системы функций (cos,1,2,…
…0, ортогональ-
ной на отрезке .||yh2,…
.2]
, третьего — с помощью системы функций
, ортогональной на отрезке ()..cos,n=0,1,n.=[0,
и четвертого,
которое содержит в себе два уравнения, объединенных фигурной
скобкой, — с помощью функций ().cos,n =0,1n,2,..., ортогональных
на отрезке .
Построенное решение дает возможность провести анализ звуково-
го поля в волноводной структуре, представленной на рис. 10.18. Ин-
тересно определить угловое распределение квадрата амплитуды дав-
ления в клинообразном волноводе:
()
()
()
..=
.2III()
2*
IIImax,,
,
qprRrpr
(10.87)
где q — номер падающей моды в области I; .. — угол, который опре-
деляет направление максимальной амплитуды давления на расстоя-
нии r. Известно (см. параграф 7.6), что соотношение (10.87) не будет
зависеть от расстояния r, если рассматривать звуковое поле в даль-
ней зоне от границы раздела плоскопараллельного и клинообразного
волноводов (kr >> 1). Учитывая это, подставляем в (10.87) выражение
(10.82) с учетом асимптотики функции Ханкеля при : ().(1)
nHkr>.kr

()........=.........
(1)2exp.
24nnHkrikrkr
(10.88)
В результате имеем выражение для характеристики направленности
по интенсивности, которое определяет угловое распределение энергии
в дальнем поле клинообразного волновода:
()
()()
()()
.
=
.
=
......=
.......2()02*
0cosexp2.
cosexp2nnnqnInnnnBiRBi
(10.89)
Конечно, следует рассмотреть энергетические характеристики
прохождения звуковой волны через границу раздела плоского и кли-
нообразного волноводов. Как и в задаче о волноводе с изгибом (см.
(10.71)), коэффициент прохождения W (q) определим как отношение
среднего потока мощности волны в области III к среднему потоку
мощности q-й моды, падающей на границу раздела волноводов в об-
ласти I. После ряда преобразований, подобных тем, которые были
проделаны в формуле (10.72), получим
()
.
=
.=....2()004,
ReqnnnqqWhk
(10.90)
где Согласно выражению (10.90), коэффициент
прохождения представлен в виде суммы энергетических коэффици-
ентов возбуждения мод области III. Аналогично коэффициент отра-
жения имеет вид
.=.=>01,1/2,0.nn
()()
=
=...2()
01Re.
ReNqnnnnqqVk
(10.91)
Здесь число N определяет количество однородных мод области I. Из
закона сохранения энергии следует необходимость выполнения усло-
вия W (q) + V (q) = 1.
Полученные бесконечные системы алгебраических уравнений ре-
шались с помощью редукции. Еще раз подчеркнем, если не интересо-
ваться тонкой структурой поля скорости вблизи ребер, то применение
простой редукции к бесконечным линейным алгебраическим уравне-
ниям второго рода целиком оправдано и эффективно. Количество уч-
тенных неизвестных коэффициентов, которое определяет порядок
системы, зависит от соотношения длины звуковой волны и характер-
ных размеров волновода. Уменьшение длины волны, естественно,
требует увеличения количества членов ряда, определяющего звуко-

. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. — М.: Сов.
радио, 1966. — 431 с.
вые поля в частичных областях. Критерием оценки качества реше-
ния является точность выполнения условий сопряжения на границах
частичных областей и выполнение соотношения для закона сохра-
нения энергии.
В данной задаче практические вычисления для диапазона
показывают, что приемлемая точность вычисления (точ-
ность выполнения закона сохранения энергии, не хуже, чем 0,1 %)
обеспечивается при удержании 10...15 членов ряда для давления в
частичных областях. Объем вычислений при этом оказывается не-
большим, и можно получить оценку для многих характеристик звуко-
вого поля в широком диапазоне частот.
.<2/3h

image description

Рис. 10.19. Частотные зависимости коэффициента W (0) при различных уг-
лах раскрыва .0:
1 — .0 = 5°; 2 — .0 = 25°; 3 — .0 = 45°; 4 — .0 = = 90°; 5 — .0 = 110°; 6 — .0 =
140°; 7 — .0 = 180°

На рис. 10.19 приведены частотные зависимости коэффициента
прохождения W(0) нулевой моды (q = 0) области I при разных углах
раскрыва .0. Здесь кривая 7 определяет излучение звука из открыто-
го конца плоского полубесконечного волновода с жесткими граница-
ми и вычисляется по формуле [., с. 38]: =(0)W(……..
21exp2h, где
. — длина звуковой волны. Все кривые на рис. 10.19 указывают на
увеличении энергии, которая проходит в клинообразный волновод
при уменьшении угла раскрыва .0. При малых волновых размерах
2h/. прохождение энергии из плоскопараллельного волновода в кли-

нообразный волновод очень мало. Как видим, даже пятиградусное
расширение волновода оказывается эффективным отражателем
энергии. Интересно, что уже при .>20h практически вся энергия
падающей волны проходит в клинообразную часть волновода.

Рис. 10.20. Кривые направленности ().(0)
IR при разных величинах .2h:
а — .0 = 90°; б — .0 = 25°

Рассмотрим угловое распределение интенсивности звука в клино-
образном волноводе. На рис. 10.20 представлены кривые направлен-
ности по интенсивности при угле раскрыва .0 = 90° (рис. 10.20, а) и
.0 = 25° (рис. 10.20, б). Падающей волной в области I является нуле-
вая мода (q = 0). Характеристика кривых — это величина отношения
2h/., как видим, при ее увеличении кривая направленности обост-
ряется. Это понятно, ведь величина 2h/. определяет физический
размер источника, который излучает звук в клинообразный волновод.
Поэтому, естественно, увеличение 2h/. приводит к обострению