такими выражениями:

()()
022220(),
2FAm.=
…+..
(2.53)

()()
022220()().
2FAAm…=..=
…+..
(2.54)
Отсюда легко найти значение скорости и смещения в предельных слу-
чаях малых и больших частот. Если . << .0, то
00ст20().
FFAKm.>==..
(2.55)
Отклонение системы от положения равновесия стремится к значению
статического отклонения .cт под действием заданной силы, а ско-
рость — к нулю. Обратим внимание на то, что в качестве масштаба,
относительно которого рассматривается малая или большая частота,
здесь берем величину .0, которая является собственной частотой со-
ответствующей системы без демпфирования. Если, наоборот, . >> .0,
то амплитуды смещения и скорости стремятся к нулю.
Особый интерес имеет определение тех частот, при которых ам-
плитуды смещения и скорости достигают максимальных значений. Из
уравнений ()0,dAd.=
.
()
0dAd..=
.
находим, соответственно:

22I02,.=… II0.=.. (2.56)
При этом максимальные значения амплитуд имеют вид:
0I(),
FAR.=
.
0II().
FAR..= (2.57)
Здесь 220.=… — собственная частота свободных колебаний сис-
темы с демпфированием.
На рис. 2.9 показаны частотные зависимости амплитуд смеще-
ния и скорости. Когда амплитудная характеристика рассматривае-
мой величины достигает максимального из всех возможных значе-
ний, говорят о возникновении резонанса в системе. Вследствие
указанного обстоятельства можно говорить о существовании в сис-
теме с демпфированием резонанса по смещению и резонанса по
скорости.
Итак, для системы с демпфированием имеем три характерных
частоты, а именно:
220.=… — собственных колебаний;
2I02.=… — резонанса по смещению;
II0.=. — резонанса по скорости.
Во многих практически важных случаях демпфирование в системе
незначительное: 20.<<., поэтому количественные различия между
указанными характерными частотами малы. По этой причине в даль-
нейшем, без специальных оговорок, мы будем говорить о резонансной
частоте осциллятора, как о частоте .0.
Для характеристики резонансных явлений важно обратить внима-
ние на фазовые соотношения. Согласно формуле (2.47) для любой час-
тоты . имеем sin . < 0, т.е. –. < . < 0. Итак, отклик всегда отстает по
фазе от внешней силы. Из выражения (2.47) имеем:
2202tg.
...=.
...
(2.58)
Если , то 0.<<.+2+.20tg2........; если 0.>>., то tg2…. и
…… Таким образом, вне области резонанса колебания ос-
циллятора происходят или в фазе с внешним воздействием (),
или в противофазе с ним (
0.<<.0.>>.). Переход из одного состояния в
другого при изменении частоты воздействия происходит в узкой по-
лосе шириной порядка 2. вблизи резонансной частоты .0. Точно на
резонансе (. = .0) сдвиг фазы равняется . = –./2.

Рис. 2.9. Нормированные час-
тотные зависимости амплитуд
смещения (кривая 1) и скорости
осциллятора (кривая 2)

Рис. 2.10.Частотные зависи-
мости .(.) и ..(.)

Явление резонансного усиления колебаний можно осознать, если об-
ратить внимание на сдвиг фазы .. между внешней силой и скоростью.
Согласно формуле (2.52) .. = . + ./2. На рис. 2.10 приведены частотные
зависимости .(.) и ..(.). Если . . .0, то между внешней силой и скоро-
стью существует некоторый сдвиг фазы. Поэтому в пределах некоторой
части каждого периода внешняя сила направлена против скорости, т.е.
старается замедлить движение, вместо того, чтобы ускорить его. На ре-
зонансе (. = .0) сдвиг фазы между внешней силой и скоростью .. будет
равен нулю (рис. 2.10), таким образом, сила всегда действует в направ-
лении движения, постоянно “подталкивая” его. Здесь есть наилучшая
согласованность между внешней силой и внутренними свойствами ко-
лебательной системы.
Пример 2.4. Осциллятор двигается по закону x(t) = x0sin(.t), а его
возбуждающая сила определяется зависимостью F(t) = F0cos(.t). Найти
коэффициент затухания осциллятора. Масса осциллятора m.
Решение. В режиме установившихся колебаний при F(t) = F0cos(.t)
смещение осциллятора определяется законом (см. (2.46))
x(t) = A(.)cos(.t + .). По условию задачи x(t) = x0sin(.t). Отсюда понят-
но, что сдвиг фазы . = –./2. Такой сдвиг фазы между смещением и
силой бывает при условии резонанса, т.е. когда частота внешней си-
лы равняется собственной частоте осциллятора . = .0. Согласно фор-
муле (2.53) амплитуда смещения на резонансной частоте
Отсюда коэффициент затухания (0/2.AFm=..()00/2.Fxm.=.
Рассматривая процесс вынужденных колебаний системы с демп-
фированием, мы использовали модель источника внешней силы, как

источника с неограниченной мощностью. Поэтому согласно формуле
(2.53) на резонансе (при . > .0) и при условии . > 0 (осциллятор без
демпфирования) амплитуда колебаний системы стремится к беско-
нечности, т.е. система потребляет неограниченную энергию. Тем не
менее, решение (2.51), (2.53) записано в соответствии с предположени-
ем о наличии установившихся колебаний с постоянной амплитудой,
что не имеет место при таких предположениях. В этом случае нужно
быть более осторожными.
Рассмотрим осциллятор без демпфирования (. > 0), на который в
момент времени t = 0 начинает действовать сила F(t) = F0cos(.t), при
начальных условиях .(0) = 0, (0)0.=… Согласно (2.47)—(2.49) при . = 0
имеем такое выражение для общего движения системы:
01020220()cos()sin()cos().
()
Ftatattm.=.+.+….

Определяя a1 и a2 из начальных условий, получаем
()[]00220()cos()cos().
Fttm.=……

Как видим, колебание системы состоят из двух гармонических дви-
жений (вынужденного и собственного), причем амплитуды этих коле-
баний одинаковы. Поэтому результирующее колебание в общем случае
не будет гармоническим. Раскачивание (амплитуда колебаний) систе-
мы зависит от соотношения частот . и .0. При . > .0 нужно рас-
крыть неопределенность типа 0/0. Таким образом, получим
000002200cos()cos()
()limsin().
2FttFtttmm.>…….==…
……..

В записанном резонансном решении амплитуда колебаний линей-
но возрастает со временем. Для любого момента времени решение ос-
тается конечным, но колебание некогда не выходят на установив-
шийся уровень. Итак, наличие демпфирования в системе приводит к
интересному результату, ни при каких условиях невозможен беско-
нечный рост амплитуды. Амплитуда колебаний на резонансе ограни-
чивается именно наличием в системе демпфирования.
В конце этого параграфа еще раз обратим внимание на аспект,
который вытекает из проведенного анализа: для раскачивания коле-
бательной системы недостаточно иметь источник с большой мощно-
стью. Даже при неограниченной мощности источника колебания в
системе могут быть очень малы, если характер действия источника не
согласован с внутренними свойствами колебательной системы. По-

этому, цель — максимальное возбуждение колебаний, что важно при
создании излучающих акустических систем, достигнута не будет.
2.2.3. Добротность
При изучении колебательной системы без демпфирования
были определены три интегральные характеристики: амплитуда, час-