И.М. Сеченова, который образно сравнивает сон с “лоскутным одея-
лом”, поясняя мысль о том, что сон фактически представляет собой
“небывалое сочетание былого”, т.е. “необычное соединение прошед-
ших событий”. Мы не зря привели это высказывание. Дело в том, что
метод, о котором будет идти речь в данном разделе, основывается, в
сущности, на принципе “лоскутного одеяла”, ведь при его применении
вся сложная (неканоническая, см. параграф 9.1) область существова-
ния звукового поля разделяется на более простые области. Простые в
том смысле, что в каждой такой области есть возможность записать
звуковое поле в виде суммы известных частных решений уравнения
Гельмгольца. В дальнейшем отдельные (частичные) области “сшива-
ют” в единую область существования звукового поля. Понятно, что
эта процедура требует выполнения определенных условий на грани-
цах частичных областей. Таким образом, всю область существования
звукового поля представляем в виде “лоскутного одеяла”, но в отличие
от сна, который довольно часто, представляет собой необычное объе-
динение разных событий, построенная таким образом структура зву-
кового поля является точным решением задачи о распространении
звука в сложной области.
Фактически, мы очень коротко изложили идею метода частичных
областей. Технику и особенности применения этого метода лучше
осознать, исследуя конкретную физическую задачу. В дальнейшем
рассмотрим несколько акустических задач, которые, с одной сторо-
ны, иллюстрируют сам метод, а, с другой — имеют решения с инте-
ресными физическими эффектами.
* Сеченов Иван Михайлович (1829—1905) — российский учений, основа-
тель российской физиологической школы.

10.1. Основные положения метода частичных
областей
Идея разделения области существования звукового поля на
подобласти нам уже знакома. Действительно, вспомните задачу о па-
дении плоской волны на границу раздела двух сред (см. параграф
5.5). Здесь все свободное пространство существования звукового поля
было разделено на два полупространства. В одном полупространстве
поле было представлено суммой падающей и отраженной от границы
волн, а во втором — прошедшей волной. “Сшивание” этих звуковых
полей осуществлялось благодаря условиям сопряжения полей, т.е. ра-
венства давления и нормальных составляющих колебательной скоро-
сти на границе раздела. Итак, выполнив процедуру “сшивания” полей,
что позволило определить коэффициенты отражения и прохождения,
мы получили для данной задачи точное представление поля во всем
пространстве, хотя в каждом из полупространств имеем свое выра-
жение для звукового поля.

Рис. 10.1. Пример составного волновода

Основные идеи метода частичных областей проиллюстрируем, ис-
следуя достаточно простую задачу о распространении звука в состав-
ном бесконечном плоском волноводе, заполненном идеальной жидко-
стью плотностью ., со скоростью звука c. Геометрия задачи представ-
лена на рис. 10.1. Поверхности волновода являются акустически же-
сткими, а размеры его составляющих равны h1 и h2, соответственно.
Пусть слева в волноводе распространяется плоская гармоническая
волна (временной множитель ()..expit опускаем) с комплексной ам-
плитудой давления:
()0=exp,pikx=..kc (10.1)
Чисто геометрически всю область существования звукового поля ес-
тественно разделить на две области: I и II, отрезком =0,x1..0zh.
Но значительно важнее, что такое разбиение конструктивно с точки
зрения построения решения задачи в целом.
Теперь вернемся к параграфу 5.13 и напомним, как записывалось
произвольное гармоническое поле в плоском волноводе. Эта запись
представляет собой суперпозицию нормальных волн с соответственно

подобранными коэффициентами (см. формулу (5.207)). Рассмотрим
вновь рис. 10.1. Выделив области I и II, мы представили составной
бесконечный волновод в виде композиции двух плоских полубеско-
нечных волноводов. Очевидно, что при падении плоской волны p0 на
границу раздела областей I и II образуется отраженная волна p1 и
прошедшая волна p2 в область II. Теперь понятно, как записать поля
p1 и p2. Волну p2 представим как суперпозицию нормальных волн
плоского волновода с характерным размером h2, т.е. поле в области II
будет иметь вид
()II22.
=
…==…
..
.0(,)(,)expcos,nnnnpxzpxzBixzh
(10.2)
где

()()
()()
еслиесли…>…=..
..<..
22222222/,/
/,/
nknhknhinhkknh
(10.3)
Выражение (10.2) можно назвать общим представлением звукового
поля в полубесконечном волноводе II. Слово “общее” подчеркивает тот
факт, что форма представления поля (10.2) не изменится при любых
граничных условиях на поверхности x = 0. Аналогичная конструкция
может быть построена и для левой части волновода. Падающая волна
(10.1) является заданной, а для отраженного поля очевидным общим
представлением будет выражение
()()11.
=
...=....
..
.0,expcosnnnnpxzAixzh
(10.4)
где

()()
()()
еслиесли...>…=..
..<..
22112211/,/
/,/
nknhknhinhkknh
(10.5)
Итак, мы построили общее звуковое поле во всем волноводе. В
данных выражениях содержатся две последовательности произволь-
ных величин An и Bn. Благодаря их выбору можно выполнить условия
сопряжения звуковых полей на границе раздела областей I и II:
III=,ppx = 0, []1=0,,zh (10.6)

I1II12..==…..=…..==.
1,0,[0,],10,0,[,].
pxzhpixixxzhh
(10.7)

Напомним, что I0=+ppp(.cosnz, а II2=pp)2hco. Обоснование такого утвержде-
ния, очевидно, вытекает из общих свойств рядов Фурье, ведь сово-
купность функций и ()1.= образует
полную и ортогональную систему функции на отрезках [0, h2] и [0, h1],
соответственно.
Приведенные рассуждения наглядно раскрывают содержание
важного для метода частичных областей понятия — общее решение
граничной задачи. Итак, совокупность частных решений системы (или
одного) дифференциальных уравнений в частных производных назы-
вается общим решением граничной задачи для данной области, если
полученное решение дает возможность удовлетворить произвольные
граничные условия на ее границе.
Подставив (10.1)-(10.3) в условия (10.6), (10.7), получим такую
функциональную систему уравнений:
121..
==
……=+=….
….
..00cos1cos,[0,],nnnnnnBzAzzhh
(10.8)
11212.
.
=
=
……=…….=…..
…=.
..00cos,[0,],
cos0,[,].
nnnnnnnkAzzhnBzhhzhh
(10.9)
Функциональную систему уравнений (10.8), (10.9) можно превратить
в алгебраическую благодаря свойству ортогональности функций
()1.cosnzh и ()2.cosnzh. Умножим уравнение (10.8) на
()1.=cos,0,1,2,…,nzhn и проинтегрируем его левую и правую части
на отрезке [0, h1]. Соответственно уравнение (10.9) помножим на
()2.=cos,0,1,2,…,nzhn и проинтегрируем на отрезке [0, h2]. При
интегрировании используем свойство ортогональности соответст-
вующего набора функций:

==.
……..
.==……
…….
.01,0,
coscos0,5,0,0,,
hmnmnmnzzdzhhmnhhmn
(10.10)
где h = h1 или h = h2. Таким образом, получим бесконечную систему
линейных алгебраических уравнений: