ней силы : 0()cos()FtFt=.
2002co(),
Ftm.+..+..=……. (2.41)
где . — частота внешней силы.
В общем случае решение этого уравнения должно удовлетворять
начальным условиям (2.12). Поскольку уравнение линейное, то его
решение может иметь вид суммы общего решения однородного урав-
нения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.
При нахождении частного решения неоднородного уравнения
можно использовать несколько приемов. Рассмотрим тот, который
приводит к формированию новых важных в акустике понятий. При
этом используем описанную в предыдущем разделе особенность экс-
поненциальных функций. Известно, что:

()()()()cos()ReexpReexp.titi.=.=.. (2.42)
Здесь обозначение Re()… указывает на то, что выделена действитель-
ная часть комплексной величины. Поскольку коэффициенты уравне-
ния (2.41) действительные, то при поиске его частного решения мож-
но сначала найти комплексное решение уравнения
(2002expFitm.+..+..=…….. (2.43)
а потом для отыскания зависимости, которая описывает поведение
реальной физической системы, выделить его действительную часть.
Фактическое выполнение такой операции в задачах акустики, когда
основной интерес представляет изучение интегральных характери-
стик движения, часто не требуется. Все необходимые сведения удает-
ся получить непосредственно из комплексного решения.
Особое внимание нужно обратить на такое обстоятельство. Как
видно из (2.42), cos(.t) есть действительная часть двух разных экспо-
нент, которые различаются знаком показателя степени. Если потом,
анализируя решение, выделить действительную часть, то различие
между двумя возможными решениями исчезает; если рассматривать
решения в комплексной форме, то можно увидеть, что они сущест-
венно различаются. В акустической литературе используются обе
возможные формы комплексного решения. Важно лишь при этом
быть последовательным, — выбрав одну из возможных форм зависи-
мости, нужно сохранять ее на протяжении всего рассмотрения. В
дальнейшем будем использовать временную зависимость exp(–i.t).
Частное решение (2.43) получаем в виде:
()()exp.tAit.=.. (2.44)
После подстановки (2.44) в уравнение (2.43) легко определить ампли-
тудную характеристику А, тогда решение приобретает вид
(0220()exp.
(2)
Ftmi.=……..
(2.45)
Действительная часть комплексной функции (2.45) определяется вы-
ражением:

()()()
()()
()
()()
220002222222200cos2sincos(),
22FttFttmm……+….+……==
..
…+…..+….
..
(2.46)
где

()()
22022220cos,
2….=
…+..
()()222202sin.
2…=.
…+..
(2.47)
После получения частного решения уравнения движения общее дви-
жение системы при произвольных начальных условий описывается
выражением:

()12()expcos()sin()cos(),ttatatAt.=…+.+.+….. (2.48)
где
220,.=…
()()
022220.2FAm=
…+..
(2.49)
Качественный анализ (2.48) дает достаточно простую картину по-
ведения системы. Но при этом анализе формируются те фундамен-
тальные понятия, которыми описываются разные ситуации в теории
колебаний и акустике. Именно с точки зрения раскрытия сути этих
понятий мы и выполняем дальнейший анализ. Из формулы (2.48)
прежде всего, видим неравноценный вклад отдельных слагаемых.
Первый из них имеет экспоненциальный множитель, который обу-
словливает затухание собственных колебаний системы. Поэтому мож-
но выделить два интервала времени. Сначала существенными могут
быть собственные колебания системы. Процесс постепенного затуха-
ния собственных колебаний называют процессом установления коле-
баний в системе. Для его количественной характеристики можно
принять интервал времени, за который амплитуда собственных коле-
баний уменьшается на 99 %. В дальнейшем движение системы полно-
стью определяется вторым слагаемым выражения (2.48). Говорят, что
система находится в режиме стационарных вынужденных колебаний.
При этом, чем сильнее проявляется эффект демпфирования в систе-
ме, тем быстрее заканчивается переходной процесс. Конкретная кар-
тина развития колебательного процесса в системе зависит от соотно-
шения частоты внешней силы и собственной частоты системы.
Рассмотрим процесс установления колебаний в случае, когда в на-
чале осциллятор покоится (.0 = 0, .0 = 0 в условиях (2.12)), и в момент
времени t = 0 на него начинает действовать сила 00()cos()FtFt=., т.е.
имеем . = .0. Из формул (2.47) следует, что вынужденные колебания
имеют сдвиг фазы . = –./2 относительно внешней силы, а согласно
выражению (2.49) амплитуда вынужденных колебаний в установив-
шемся режиме 0(AFR=.. Из начальных условий (2.12) находим по-

стоянные: а1 = 0, 20aA=… (получите самостоятельно). Тогда ре-
шение (2.48) можно записать в виде
()00()sin()expsin().tAttt….=………..

Поскольку коэффициент затухания . << .0 (что практически всегда
наблюдается для осцилляторов, которые нас интересуют), то частоты
220.=… и .0 мало отличаются одна от одной. Поэтому погреш-
ность, которая накапливается в фазе колебаний за время установле-
ния вследствие такого изменения, будет малой. Итак, положив . . .0,
в итоге получим такой результат:
()().=…..000()1expsin(
FttR, (2.50)
типичный вид зависимости (2.50) отображен на рис. 2.8. Как видим, в
начале происходит рост амплитуды колебаний, которая в установив-
шемся режиме выходит на стационарный уровень ()0AFR=.. Время
наращивания колебаний можно оценить так: .–1.

image description

Рис. 2.8. График установления колебаний в осцилляторе под действием гар-
монической внешней силы при нулевых начальных условиях

Вынужденные колебания в системе будут поддерживаться беско-
нечно долго благодаря действию периодической силы. Собственные
колебания после окончания определенного интервала времени зату-
хают. Начальные условия возмущения колебаний влияют лишь на ам-
плитудные и фазовые характеристики собственных колебаний. Сис-
тема, которая находится в режиме установившихся вынужденных
колебаний, “не помнит” начало колебаний. Эта возможность — абст-
рагироваться от начальных условий при рассмотрении вынужденных
колебаний — позволяет существенно упростить ряд сложных задач
физической акустики. Сосредоточим наше внимание на установив-
шихся колебаниях осциллятора.

В соответствии с (2.48) в режиме установившихся колебаний из-
менение со временем обобщенной координаты представлено зависи-
мостью
.(t) = A cos(.t + .), (2.51)
для скорости имеем
()()sin()cos/2.tAtAt.=…+.=..+.+… (2.52)
Поскольку колебания осуществляются с частотой внешней силы, то
анализу подлежат лишь две интегральные характеристики колеба-
тельного процесса: амплитуда A и фаза .. Величина . есть сдвиг фа-
зы между внешней силой F(t) и откликом на нее осциллятора .(t).
Итак, величина . + ./2 определяет сдвиг фазы между внешней си-
лой и скоростью в системе 0()cos()FtFt=()t…
.
Согласно формулам (2.49) и (2.52) зависимость амплитуд смещения
и скорости AA. от частоты внешнего воздействия представляется