растают и в результате их количество на диске уменьшается (понят-
но, что Rn . a). Такого рода наблюдения можно использовать для ка-
чественного анализа зависимости амплитуды эхо-сигнала от разных
геометрических параметров ситуации. Ниже приведем пример такого
анализа.
Зафиксируем расстояние z, и будем изменять радиус диска a. На
рис. 9.8 приведен результат вычисления амплитуды эхо-сигнала пу-
тем численного интегрирования по формуле (9.56). Расстояние и ра-
диус диска нормированы на длину волны, а амплитуда — на ее мак-
симальное значение. Проанализируем этот результат.

Рис. 9.8. Зависимость нормированной величины амплитуды давления рас-
сеянной волны от радиуса диска а/. на расстоянии:
а — z/. = 500, б — z/. = 5

Рассмотрим рис. 9.8, а. При достаточно малых радиусах на по-
верхности диска размещается только часть первой зоны Френеля. По-
этому при увеличении радиуса добавляются фиктивные источники,

которые усиливают эхо-сигнал. Рост амплитуды наблюдается до тех
пор, пока на диске не разместится вся первая зона Френеля. При
дальнейшем росте радиуса на диске появляется вторая зона Френеля.
Фиктивные источники, расположенные на ней, являются противофаз-
ными к тем, которые находятся в первой зоне, и ослабляют эхо-
сигнал. Ослабление будет самым существенным, когда на диске раз-
местятся две зоны Френеля, а потом начнется увеличение амплитуды
эхо-сигнала за счет источников из третьей зоны и так далее. Возни-
кает вопрос, чем же все закончится, если увеличивать радиус до бес-
конечности. Ответ на него получить не так сложно, поскольку поле,
отраженное от жесткой бесконечной плоскости, можно вычислить как
поле мнимого источника, расположенного за экраном симметрично к
реальному источнику, т. е. на расстоянии 2z от точки наблюдения.
Действительно, приведенный на рис. 9.8, б график зависимости ам-
плитуды эхо-сигнала от радиуса диска, рассчитанный для достаточно
малого расстояния, показывает, что амплитуда стремится именно к
такому пределу.
Рассмотрим другую ситуацию: зафиксируем радиус диска, и будем
удалять источник (и, разумеется, точку наблюдения) от отражающего
диска. Сначала на поверхности диска вмещается много зон Френеля,
а потом, их количество уменьшается, поскольку их радиусы зависят от
дистанции (см. (9.57)). Повторив предыдущие рассуждения, легко по-
нять, что амплитуда эхо-сигнала должна осцилировать при измене-
нии дистанции. Это подтверждают и результаты расчетов (рис. 9.9).

Рис. 9.9. Зависимость нормированной величины амплитуды давления рас-
сеянной волны от расстояния до точки наблюдения z/. для диска радиусом
a/. = 5

Как видим, кроме осцилляций происходит общее уменьшение ам-
плитуды. Оно объясняется тем, что амплитуда каждого фиктивного
источника уменьшается с увеличением расстояния до отражающего
экрана. С того расстояния, когда размер первой зоны Френеля уже
превышает размер диска, осцилляции исчезают, и начинается моно-

тонное уменьшение амплитуды по закону, обратно пропорционально-
му квадрату дистанции. Тогда говорят, что точка наблюдения уже
находится в дальней зоне отражателя.
Вернемся к формуле (9.54). Если отражатель достаточно мал по
сравнению с первой зоной Френеля, то все фиктивные источники,
расположенные на нем, можно считать синфазными. В таком случае
можно допустить такое приближение при вычислении интеграла
(9.54): r . z и сos . . 1. Тогда давление в точке наблюдения M опре-
делится приближенным равенством:
.
.1222exp(2)()
(4)
ikSikzpMz. (9.59)
Из формулы (9.59) следует, что отраженная волна в этом случае явля-
ется сферической волной, поскольку ее амплитуда уменьшается об-
ратно расстоянию z на пути от отражателя до точки наблюдения.
Принимая во внимание, что на пути от излучателя до отражателя она
также уменьшалась обратно к z, в формуле имеем 1/z2. Важно также,
что амплитуда отраженного сигнала в этом случае пропорциональна
площади отражателя S. Таким образом, по амплитуде можно получить
представление о размерах отражателя.
В завершение параграфа заметим, что наши рассуждения относи-
тельно роли зон Френеля при анализе отражения сигналов применя-
ются в задачах излучения и рассеяния звука на препятствиях и от-
верстиях жесткого экрана.
9.9. Функция Грина для полупространства
Вернемся к математическому выражению для принципа
Гюйгенса (9.43) (полагаем, что объемные источники отсутствуют, т.е.
q(r0) . 0). Напомним, что до сих пор мы не накладывали никаких гра-
ничных условий на функцию Грина Srr()
0(,)G, поскольку она опреде-
лена для свободного пространства. Как следствие, интеграл Кирх-
гоффа позволяет вычислить поле в любой точке пространства, если
известны давление и его нормальная производная на некоторой по-
верхности . Фактически следует уже иметь решение задачи, поэто-
му говорят о (9.42) как о переопределенном уравнении.
S
Необходимости одновременного задания давления и его нормаль-
ной производной можно избежать, если построить функцию Грина
для уравнения Гельмгольца таким образом, чтобы она была решением
уравнения (9.28), удовлетворяла условию излучения и, кроме этого,
удовлетворяла одному из граничных условий на поверхности S:

1)
.
=
.
0,
SGn
2) =0.SG (9.60)
В этом случае соответствующие члены в интеграле (9.42) равны нулю.
Это приводит к тому, что если =0SG, то на поверхности S следует
задать только давление ()r()
0Sp, а когда
.
=
.
0SGn, то — производную
()..r()
0.Spn
Построение функций Грина, которые удовлетворяют граничным
условиям 1 или 2 в (9.60), известно только для задач с достаточно про-
стой геометрией. Понятно, что функция Грина определяется только
поверхностью S и свойствами среды, поэтому можно говорить о
функции Грина для свободного пространства, полупространства,
сферы, цилиндра и т.п.
Определим функцию Грина для полупространства, как случая
наиболее простого, но очень важного. Сначала найдем функцию Гри-
на для полупространства с жесткой границей, т.е. когда выполняется
условие 1 в (9.60). Совместим жесткую границу S с плоскостью z = 0
(рис. 9.10). Как известно, физический эффект, обусловленный влия-
нием идеальной границы на звуковое поле источника, эквивалентен
действию некоторого дополнительного источника. Этот источник вы-
бирают таким образом, чтобы сумма полей действительного и допол-
нительного источников, которые размещены в бесконечном про-
странстве, была равна полю действительного источника в исходной
области при наличии границы.

Рис. 9.10. Пример определения функции Грина для полупространства

Если в точке помещен точечный источник, то в данном случае
дополнительный источник следует расположить в точке , которая
симметрична точке относительно плоскости z = 0 (рис. 9.10). При
этом дополнительный источник должен иметь такую же производи-
тельность, что и действительный источник, и работать с ним синфаз-
r00.
rr0

но. Очевидно, что в такой ситуации нормальная составляющая ско-