тив вектора скорости; R
ия, трения), H . c/м.
Если теперь учесть, что в колебательной системе (см. рис. 2.1,а) на
массу действует с
б
0.mxRxKx++=…… (2.26)
Разделив это уравнение на величину m, изменим размерность коэф-
фициентов уравнения, придав ему стандартный вид уравнения для
системы с одной степенью свободы при наличии демпфирования.
При этом становится уже не существенным и физическое содержание
самой обобщенной координаты, относительно которой записано урав-
нение. Согласно принятым в первом параграфе обозначениям для
гармонического осциллятора уравн
ф2……
020,.+..+..= 2. = R/m, c–1. (2.27)
Здесь .0 — собственная частота сист
ия; . — коэффициент затухания.
Конкретное движение колебательной системы определяется зада-
нием начальных условий (2.12). Задача нахождения решений обыч-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(именно таким есть уравнения (2.27)) относительно простая. Она легко
сводится к задаче нахождения корней алгебраических уравнений,
степень которых совпадает с порядком дифференциального уравне-
ния. При этом используется тот факт, что экспоненциальная функция
инвариантна относительно операции дифференцирования. Если, в

к пфунк-
()()exp,tAt.=. (2.28)
(гдедля . будем иметь уравне-
2020.+..+.=
2
к
2.=..±.
1,2..
три случая:
1) если 220.>., то 10.<, 20.< и решение
()()1122()expexptAtAt.=.+. не будет описывать колебательное дви-
жение. Демпфирование настолько велико, что при смещении системы
в н
ачальный моментот положенисущест-
ть колебательное движение, а к поло-
жению равновесия;
2) если . = ., то .1 = .2 = –. и ()()12()expexp.tAtAtt.=..+.. В этом
случае система также не будет осущес
акустических си
221,20i.=..±…,

()22221020()expexpexp.ttAitAit…….=…..+…………….
(2.31)
Полученное решение уравнения является комплексной функцией. По-
скольку коэффициенты исходного уравнения (2.26) действительные,
то это уравнение удовлетворяется отдельно действительной и м
частямидемпфиро-
вей:
()22221020()expcossin,ttata…….=…..+……………

или
()220()expcos,tAtt……..+…
..
(2.33)

2212,Aaa=+
гд
чальные условия (2.12) и найдемко002220.a.+..=
…

Рис. 2.6. Пример колебания затухающего осциллятора
Решение (2.33) описывает затухающее колебательное движение,
амплитуда которого уменьшается согласно закону exp(–.t) (рис. 2.6).
Понятно, что функция .(t), как и функция ()t…
, не является периоди-
ческой, поскольку для любого T очевидно, что ()()ttT…+. Поэтому в
строгом понимании слова периода не существует. Тем не менее, время
между двумя последовательными прохождениями системы через по-
ложение равновесия (в одном напра
чляонятие периода для зату-
2,T.=
.
220,.=… (2.35)
где . — угловая частота затухающего колебания. Видно, что наличие
демпфирования увеличивает период колебаний сравнительно с пе-
риодом колебаний системы без демпфирования. Уменьшение частоты
собственных колебаний можно было ожидат
а

()()
(
()
1expcosexpnnAttTCAtT+
…+.==….+..
T.=.
Вским декрементом затуха-

1lnnnCTC+
.==.. (2.36)
Величина . характеризует за
д. Важной особенностью (2.36) есть постоянство отношения
1nnCC+ (для любого n) — это характерная особенность принятой на-
ми модели демпфирования.
Формулу (2.36) можно использовать для экспериментального опре-
деления .. Для этого необходимо определить изашения двух соседних амплитуд колебаний. Но бо
ается при использовании отношения двух амплитуд, отдаленных
на N периодов. При этом (2.36) приобретает вид 1ln.nnNCNC+
.=
Согласно выражению (2.33) демпфирование влияет на изменение ам-
плитуды колебаний осциллятора и собственную частоту системы по срав-
нению с отсутствием демпфирования. Но, и это является характерной
чертой
нлу (2.36)
в20
2222000222011…………
….Тогда, например, при условии ./.0 =
0тся от Т0 лишь на 0,1Т0, имеем . . 2,879 и exp(.T ) . 17,8. За два
периода колебаний амплитуда уменьшае, т.е. ко-
лебанияОбознач
т времени, за которое амплитуда
краз. Тогда ()1exp0,368e….=., откуда
имеем
.. = 1, . = 1/.. (2.38)
ремя . называют постоянной времени затухания. Итак, . — вели-
чина, обратная времени затухания. Пусть N — число периодов, после

которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда = NT и
. = .T = T/. = 1/N.
e
1, то это означает, что амплитуда у
иодов.
2.2.2. Вынужденные колебания
Вынужденные колебания системы — это такие ее движе-
ния, которые обусловлены действием внешней силы. При математи-
ческом моделивании такой ситуации необходимо построить опре-
деленную модель внешней силы. При этом часто считают, что внеш-
няя сила не зависит ни от обобщенной координаты .(t), ни от обобщен-
ной скорости ()t…
системы, т.е. от характера движения системы. Как
будет показано ниже, такое предпо
ель для любого реального источника колебаний. Суть дела в том,
что это предположение эквивалентно предположению о неограничен-
ной мощности источника движения.
Следует отметить, что в механических колебательных системах не
так просто с технической точки зрения влиять периодической силой
непосредственно на массу, которая двигается. Значительно проще это
сделать в электрических или оптических колебательных системах, на-
пример, в колебательном контуре, при подключении его к внешнему
источнику переменного напряжения (рис. 2.7, б). Но нетрудно понять,
что поддерживать колебание системы, которая изображе
, на рис. 2.1, а, можно, не прикладывая непосредственно внеш-
нюю силу F(t) к массе тела, достаточно эту силу приложить к свобод-
у кольцу пружины, как это изображено на рис. 2.7, а.
Итак, пусть правый конец пружины на рис. 2.7, а выполняет за-
данное движение в горизонтальном направлении согласно закону
()xt… В состоянии покоя пружинане деформирована и =. Тогда
нидвижения системы зисывается выражению
ом слу0x..
льна
уравн(2.2).
…()xtR(xKx…
тельн (рис. 2.7,а), а именно,
x будет иметь вид
()),mxxt=…….. или
(),mxRxKxFt++=…… (2.39)
()()FtKxt=..
гд

Рис. 2.7. Примеры осцилляторов под внешним воздействием

Второй пример рассматривает электрический контур на рис. 2.7,б.
В электрический контур последовательно с другими элементами
включен источник напряжения. Закон Кирхгоффа для контура, запи-
санный относительно заряда q, будет иметь вид
().LqRqqCUt++=…… (2.39а)
После деления (2.39) или (2.39а) на коэффициент при второй про-
изводной, получаем уравнение осциллятора с демпфированием при
внешнем воздействии. Для уравнения (2.39) будем иметь:
2012(),Ftm.+..+..=…… (2.40)
где 2. = R/m, а 20/.Km.=
Поскольку общее решение однородного уравнения известно, то
при помощи метода вариации произвольных постоянных можно легко
найти частное решение неоднородного уравнения (2.40) с произволь-
ной функцией F(t). Это можно сделать как упражнение. Остановимся
более детально на случае действия на систему периодической внеш-