вглубь сферического препятствия. Поле внутри сферы запишем так:

.
=
=+..110(21)()(.nnnnnpniDjkrP (8.88)
Снова отметим, что выделение множителя (2n + 1)in осуществляется
только ради унификации решения. Отметим, что k = ./c, k1 = ./c1. По-
ле p1 строится только с учетом функции jn(k1r), сферические функции
Неймана yn(k1r) во внимание не принимаются, поскольку при r > 0 они
стремятся к – . (вспомните, подобная ситуация сложилась при изу-
чении колебаний круговой мембраны).
На поверхности сферы должны выполняться условия сопряжения
полей снаружи и внутри сферы:
+=0,sppp1=
,ra

…..+=………..
01111,spppirrir
=.ra (8.89)
Подставив (8.87) и (8.88) в систему (8.89), получим следующие равен-
ства:
.=(1)
1()()()nnnnnjkaChkaDjka =0,1,2,…,n (8.90)
……=……(1)
11111()()().nnnnnjkaChkaDjkacc
(8.91)
Поделив (8.90) на (8.91), запишем

..=
…..
(1)
111(1)
1()()()
()()()
nnnnnnnnjkaChkajkaccjkaChkajka.
Отсюда искомые коэффициенты равны nC

…
..
=
…
..
1111(1)(1)
111(1)
1()()1()()().
()()()1()()
nnnnnnnnnnnjkajkaccjkajkajkaChkajkahkacchkajka
(8.92)
Тогда коэффициенты Dn определяются из уравнения (8.90) или (8.91).
Итак, решение найдено. Он дает возможность вычислить звуковое
поле снаружи и внутри сферы.
Как пример, на рис. 8.10 показано распределение нормированной
(к амплитуде падающей волны) амплитуды давления снаружи и внут-

ри сферы. Окружающей средой является вода (. = 103 кг/м3, с = 1,5
. 103 м/с), параметры сферы: .1 = 1,1 . 103 кг/м3, с1 = 0,95 . 103 м/с,
а/. = 0,9 (. — длина волны в среде). Графики иллюстрируют распре-
деление амплитуды давления вдоль лучей . = 180° (z/a < 0) и . = 0
(z/a > 0). На графике можно видеть достаточно резкий максимум
давления, которое отвечает белому пятну на карте распределения ам-
плитуды давления. Можно сказать, при выбранных параметрах мы
имеем жидкую сферическую линзу.

Рис. 8.10. Диаграммы распределения (справа) и графики (слева) для норми-
рованной амплитуды давления снаружи сферы и внутри сферы:
. = 103 кг/м3, с = 1,5. 103 м/с, .1 = 1,1 .103 кг/м3, с1 = 0,95 . 103 м/с, а/. = 0,9

Рассмотрим интересный случай сферы малого волнового размера, т.е.
ka << 1 и k1a << 1. Для этого согласно формулам (8.78)—(8.81) найдем
асимптотику коэффициентов Cn при ka << 1 и k1a << 1. Пусть n = 0:

=...
.
010111101()()3,
()()
jkajkajkakajka
.
=.=.010()(),
()()3jkajkakajkajka

.
=.=.
(1)(1)
01(1)(1)
00()()1,
()()
hkahkakahkahka
().=
.
0(1)
0()1,
/()
jkaikaikahka

тогда

......
...===
.....
..211111231021111121131113(),
311113()3()
cckackacCikaikaicckakackakackaka
(8.93)
где — упругость вещества сферы, .=.2111c.=.2c — упругость среды
вокруг сферы. Пусть n = 1:
==
....
.
1111121111121111()()1(),1()()31()()
()35()
jkajkakajkakajkajkakakaka

...
.=.=.=
.
(1)(1)2201(1)(1)30111()()()1113()2,,
()()1()()
hkahkajkakajkakakakakakahkahka

.
==
..
231(1)
1()()(),
3()3()
jkakakakaiihka

тогда

.....
.==
..+..+.1111331111111()().
23311ckakakapckaCiickapcka
(8.94)
Пусть n > 1, проводя аналогичные выкладки, нетрудно убедиться, что
.
.
.
11()(
()()
nnnnjkajkajkajka
и
.
.
.
(1)
1(1)
1()(
()()
nnnnjkahkahkajka
имеют величину порядка1kaka, то-
гда как отношение (1)
()
()
nnjkahka
. +21()nka. Итак, именно это отношение
будет определять порядок величины коэффициентов Cn. Действи-
тельно, если коэффициенты C0 и C1 имеют порядок (ka)3, то C2 уже
имеет порядок (ka)5.
Таким образом, в случае произвольного препятствия малого вол-
нового размера в ряде (8.71) для рассеянной волны ps достаточно ос-
тавить лишь первые два члена, т.е.
()=.+(1)(1)
0101()3()cos.spChkriChkr (8.95)
В дальнем поле, где kr >> 1, согласно асимптотическим формулам
(8.74) выражение (8.95) будет иметь вид

. Рэлей (Rayleigh) Стретт Джон Уильям (1842—1919) — английский физик,
лауреат Нобелевской премии (1904).
[]()=+.013cosexpsipCCikkr
(8.96)
Таким образом, произвольная сфера малого волнового размера созда-
ет одновременно и монопольное, и дипольное рассеяние. Другими со-
ставляющими рассеянного поля можно пренебрегать. Вообще приве-
денный результат действителен для малого препятствия произвольной
формы.
Подставляя в (8.96) асимптотические формулы для коэффициен-
тов C0 и C1 малой сферы, получаем следующую формулу для рассеян-
ного поля:

()……..=.+…
+………
311211exp1/1/cos().
12/()3/sikrpkkrka
(8.97)
Приняв во внимание, что обычно (ka)2 << 3.1 /.,, (8.97) можно пере-
писать в виде

()........=.....+....
31111exp1/1/cos().
3/12/sikrpkkr
(8.98)
Неравенство (ka)2 << 3.1 /. не выполняется только для сферы, кото-
рая подобна по своим свойствам мягкой сфере, у такой сферы значе-
ние упругости .1 очень мало. Формула (8.98) впервые была получена
Релеем..
Используя формулу (8.76) в случае рассеянного поля в виде (8.97) и
(8.98), получаем следующие значения для полного сечения рассеяния:

...............=.+........+.............
2224112111/1/14(),
312/()3/sakka
(8.99)

...............=.+......+..........
222411111/1/14().
3/312/sak (8.100)
Итак, основными свойствами рассеяния звука малой сферой
(ka<< 1, k1a << 1; и вообще препятствиями малых волновых разме-
ров) являются:
• наличие монопольной и дипольной составляющих в рассеянном
поле; если препятствие отличается от среды только сжимаемостью

(.1 = .), то имеем рассеяние монопольного типа, а если только плотно-
стью (.1 = .), то — дипольного типа;
• сечение рассеяния пропорционально частоте в четвертой степе-
ни, что обуславливает увеличение рассеивающей способности пре-
пятствия с ростом частоты. Такую особенность рассеяния звука на
малых препятствиях называют рэлеевским рассеянием (в честь Рэлея,
который открыл этот закон в 1898 г.).
Приведенные соотношения позволяют записать полученные преж-
де формулы для полного сечения рассеяния жесткой и мягкой сфер.
Действительно, в случае малой жесткой неподвижной сферы имеем
.1 / . > . и .1 /. > .; поэтому из формулы (8.100) получаем значение
.s, которое согласуется с (8.85):
…=.+.=…
..
2411174()();
9349sakaa (8.101)
в случае малой мягкой сферы имеем .1 / . > 0 и .1 /. > 0, поэтому из
формулы (8.99) получаем значение .s, которое совпадает с (8.83):

..
.=.+……
..
244114()4.3()sakaka
(8.102)
Подставляя в формулу (8.96) асимптотические значения
коэффициентов С0 и С1 при ka << 1, нетрудно убедиться, что малая
мягкая сфера имеет ненаправленное рассеяние (монопольный тип), а
малая жесткая неподвижная сфера создает направленное рассеянное
поле, которое определяется соотношен
sp . ..31cos2
(8.103)
В завершение приведем следующие соображения относительно
частотной зависимости сечения рассеяния в формулах (8.99) и
(8.100), из которых следует, что с ростом частоты имеет место суще-
ственное увеличение рассеивающей способности малой сферы. Релей