(2.22) и (2.23), нетрудно получить уравнения этой кривой:
Если в качестве координат приняты переменные и
(,….
20/
.(,….
222A.+.=..
0….
., то имеем уравнение окружности (рис. 2.4). Как видим, величи-
ны А і .(t) есть не что иное, как полярные координаты точки на плос-
кости . Эта точка вращается против часовой стрелки с угловой
скоростью .0 (ведь 0=.), так что за один период колебаний T она
выполняет один оборот, и фаза .(t) возрастает на 2..
Согласно определению угловая частота .0 = 2./Т выражается в ра-
дианах за секунду. Поскольку радиан есть величина безразмерная, то
размерность .0, с–1, она определяет число колебаний системы за 2.
секунд. Вместе с угловой частотой .0 при описании колебательных
процессов используют такую характеристику, как число колебаний за
одну секунду — f0. Частота f0 связана с угловой частотой .0 равенст-
вом Гц. Единица частоты f0 — герц, т.е. частота
процесса, в котором одно колебание происходит за одну секунду. Ко-
нечно, если это не вызывает недоразумений, . и f имеют одинаковое
название — частота.
001//(2),fT==..
Перепишем выражение для скорости гармонического осциллятора
(2.23) в виде ()()()000000sincos/2tAtAt.=…+.=..+.+…
()t…
()()220000coscostAtA.=…+.=……
()t,…
…..
. О такой
записи можно говорить, что скорость опережает по фазе измене-
ние координаты .(t) на величину ./2. Дифференцируя вторично, на-
ходим ускорение (00t+.+..
Ускорения изменяется за тем же законом, что и координата .(t)
осциллятора, но опережает ее по фазе на .. Начертите графики
зависимости .,
…..
от времени t и подумайте самостоятельно над их
фазовыми соотношениями.
Записанные выше формулы для ., ,…
….. устанавливают связь меж-
ду амплитудами колебаний A, скорости А. и ускорение Aa : A. = .0A,
200.aAAA.=.=.
Пример 2.2. На платформе, которая выполняет гармонические
колебания с частотой 5 Гц в вертикальном направлении, размещен

груз. Показать, что груз потеряет контакт с платформой, когда ее
смещение превысит 0,01 м.
Решение. Груз потеряет контакт с платформой, когда ускорение
платформы и ускорение силы тяготения g будут иметь одинаковое
направление, а ускорение платформы будет больше, чем g. Такие
условия могут быть реализованы, когда платформа находится в самом
верхнем положении при 2max0.aA=.> Подставив численные
значения величин, получим очевидное неравенство: .2 > g.
В соответствии с уравнением (2.11) квадрат собственной частоты
.0 входит как коэффициент при обобщенной координате. Поэтому
построение уравнения движения системы позволяет сразу определить
частоту .0. Проиллюстрируем этот важный результат на таком при-
мере.
Пример 2.3. Рассмотрим малые колебания (х << l) массы m, поме-
щенной посередине безмассовой струны, натянутой с силой F
(рис. 2.5). Положение равновесия соответствует координате x = 0. Оп-
ределить собственную частоту колебаний массы m.
В начале сделаем важное замечание относительно малости колеба-
ний. В процессе колебаний сила упругости F будет изменяться на ве-
личину, которая пропорциональна удлинению струны
()()222/212/1llxllxl..=+.=+..
..
. Разложим функцию .l(x) в ряд
по степеням х/l: ()(210,52/llxl.=+
2ll..
+)1..…
()2/xl
Поскольку х/l << 1, то
имеем приближенное равенство , т.е. изменение натяже-
ния струны при колебании массы m есть величина второго порядка
малости относительно величины отклонения x/l массы m от положе-
ния равновесия. Это дает основание считать силу натяжения F в про-
цессе колебаний постоянной.

Рис. 2.5. Колебательная система

Решение. Согласно рис. 2.5, восстанавливающая сила FB, которая обу-
славливает движение массы вдоль осы Ох, равняется проекции силы

натяжения F на ось Ох : В2sin.FF=.
()
Эта формула устанавливает
нелинейную связь между восстанавливающей силой FB и отклонением
массы m от положения равновесия (угол . является функцией коор-
динаты x), что приводит к нелинейному уравнению движения. Но,
учитывая малость колебаний (угол . << 1), можно считать, что
sintg2xl…=. Тогда уравнение движения будет иметь вид
4/()0.xFxml+…. Отсюда искомая частота собственных колебаний сис-
темы .0 будет равна 04/.Fml.= Как видим, 20. пропорциональна
силе натяжения струны F и обратно пропорциональна массе m и длине
струны l.
Завершая описание свободных колебаний гармонического осцил-
лятора, нужно обратить внимание на следующее. Из трех указанных
характеристик две — амплитуда А и фазовый сдвиг .0 — зависят от
начальных условий, в то время, как третья характеристика — частота
.0 — не зависит от этих условий. Частота и период колебаний осцил-
лятора определяются лишь внутренними физическими свойствами
системы и не зависят от того, как именно система была приведена в
движение. Поэтому при решении вопроса о быстром или медленном
влиянии на колебательную систему в течение временного масштаба
нужно выбирать именно период собственных колебаний.
Для большинства колебательных процессов, разных по своей при-
роде, характерным есть то, что при малых возмущениях от положения
равновесия возникает простое гармоническое движение. Конечно,
гармонические колебания могут выполнять не только малые тела, но и
тела достаточно значительных размеров, например, мосты под дейст-
вием порывов ветра. Тем не менее, для нас особенно важным есть то,
что природа малых колебаний тесно связана с природой большинства
источников звука. Это мы будем подчеркивать при изучении приро-
ды звуковых волн. Но уже сейчас, принимая во внимание малость
амплитуды колебаний источников звука, которые нас интересуют, мы
понимаем, что частоты звуковых волн, которые они излучают, не за-
висят от амплитуды колебаний источника. Именно это наблюдается в
большинстве случаев, когда речь идет о звуках, которые мы слышим в
окружающей среде.
2.2. Осциллятор при наличии демпфирования
2.2.1. Свободные колебания
Простейшие колебательные системы в первом параграфе
данного раздела рассматривались со слишком сильным абстрагирова-
нием от свойств реальных систем. При наблюдении за любой реальной

системой, в которой существуют возбужденные колебания, можно на-
блюдать постепенное уменьшение амплитуды колебаний. Полученная
системой в начальный момент энергия или будет вытекать из систе-
мы в окружающие объекты (в частности, таким механизмом истече-
ния может быть излучение звуковой энергии в окружающую среду),
или будет превращаться в теплоту в самой системе. Эти обстоятельст-
ва описывают с помощью понятия демпфирования (от немецкого сло-
ва dёmpfer — глушитель) колебаний. Механизм рассеяния энергии
чрезвычайно разнообразен, и создание соответствующей математиче-
ской модели нередко является очень сложным делом. В задачах аку-
стики часто удается достаточно точно качественно и количественно
описать процессы рассеяния энергии, вводя в рассмотрение
пй степени скорости:
.FRx=… (2.25)
Здесь знак “минус” указывает на тот факт, что сила направлена про-