куррентным соотношением:
=(0)()()nnPxPx
()++.++=11()(21)()()0,nnnnPxnxPxnPx (7.175)
а сами полиномы Лежандра выражаются через тригонометрические
функции
()()()()()..
.=.+…..+…
21!!23!!1cos2cos2cos2(2)!!(22)!!2nnnPnnn

()()..
+………
25!!132cos4(24)!!24nnn
(7.176)
Например, для нескольких первых номеров n запишем такие полино-
мы:
P0(cos.) = 1,

()().=..+…2cos3cos214,P

()().=..+….3cos5cos33cos8.P (7.177)
Поскольку Pn(x) — полином степени n, то продифференцировав поли-
равилу (7.174), имеемпри m > n. Таким образом,
=()0mnPx, если m > n. Функции .()mnP об
нейшего…….=..()()
0()()sin,mmnnnPPdN
()..=..=.
1, ,nn

()+.21!nmnnm.
….
0, .
nnnn(mnP
.)().
Понятие ортогональности примнимо для функцче-
ных. Рассмотрим две функции: ..()()cos()mnPm и
.
….()cos()mnPm. Произведение этипроинтегрируем по
в()()()()()()
…
………=..
200coscossinmmnnPPmmdd
()()()()()()
…
….=…….=…….
200coscossin2,mmnmnmmdPPdN(7.
.
.==..
..==….
1, 0,0,5, 0,mmmmmm.
.=.
.=…
1,,
0,.nnnnnn

….0, ,mm.
Итак, имеем систему ортогональных функций. Оказывается, что
подобно тому, как из трех ортогональных векторов (складывая их в
необходимой пропорции) можно построить любой пространственный
из бесконечного числа ортогональных функций вида
..()()cos()mnPm можно пить любую (с несущественными ограни-
чениями) зависимость ..(,)F . = (0,.) и . = (0,2.). Гово-
рят, что система функций
.()mnP.cos()m имеет свойство полноты.
Другим словам, любую зависимость F.,.), зданную на единичной
о представить в виде ряда Фурье по функциям

..()()cos()mnPm. Именно к такому ряду (обобщенному ряду Фурье) при-
водит решение данной задачи. Действительно, подставляя в (7.164)
частные решения уравнений (7.166), (7.168), (7.169), которые соот-
ветствуют конкретным n и m, и суммирешение уравн
аничное услов
одставим (7
Разложим V(
..()()cos()mnPm
ффициенты A

р..
..=….()(,,)()cos()(,mprAPmRr
==00nmnnnmгде Rn(r) — частное решение уравнения (7.166); Anm — неизвестные
коэффициенты. Дл
гр=
.
=..
..i
П..
==
…=.
..00()co()()(,).nmnnnmi
(7.182)
.,
..
..=….()(,)()cos().mVVP
==00nmnnmПриравнивая коэффициенты рядов (7.182) и (7.183), оп
э=..
.()nmnRaС помощью ряда (7.183) произвольные колебания поверхности сферы
представлены в виде суммы бесконечного числа колебаний специаль-
ного вида — так называемые моды. Рассмотрим подробнее, что пред-
ставляют собой отдельные моды колебаний. При условии m = 0 коле-
бан
ия не зависят от азимутального угла ., а их зависимость от . оп-
ределяется полиномами Лежандра (рис. 7.25).
На рис. 7.25 видно, что мода с индексами 00 соответствует пуль-
сирующей сфере (V = const), а мода 01 — осциллирующей сфере
(V = cos.). Для всех других мод — 0n — сфера оказывается разделен-
ной n узловыми линиями (они проходят по параллелям), на участки,
которые колеблются противофазно относительно ближайших соседей.
На рис. 7.26, а, эти кольцевые зоны выделены белыми и серыми по-
лосами. При условии m > 0 моды nm снова характеризуются n узло-

выми линиями, которые идут вдоль параллелей, но кроме того,
множителем cos(m.) обусловлены колебания поверхности сферы, ко-
торые им

.(0)(),nP

а — n > 0, m = 0; б — n > 0, m > 0
Каждая мода колебаний поверхности сферы излучает сфериче-
скую волну соответствующего порядка. Рас
р
..=…..
()(,,)()cos()().
()
mnmnmnnnpriPmRrRa
(7.185)

Из (7.185) следует, что амплитуда начесволны, ко-
торая излучается модой nm, зависит отуглов . и ., причем одинако-
вым образом для любого радиуса фронта r. Положив для наглядности
m = 0, можно отметить, что после .=(0)
0()1P и .=.(0)
1()cosP, что отве-
чае
т пульсирующей и осциллирующей сферам, идут довольно слож-
ные функции .(0)()nP, n > 1, которые определяют колебания поверхно-
сти сферы, повторяющие себя во внешнем пространстве.
Изменение амплитуды вдоль луча ., . одинаково для всех
направлений и определяется функцией Rn(r) — решением (7.166).
Напо
.ия по r
+

..
+.=..
2222(+0.dRdRnnkR (7.186)
Если бы не было коэффициента 2 при 1dRrdr, то это уравнение можно
было бы считать уравнениям Бесселя (см. (7.115)
Попробуем свести (7.186) к уравнению Бесселя с=/Rur.
нов полу-
ч

()..+..++.=
..
..
222221210.
nndudukurdrdrr
(7.187)
К так подстановке побуждают следующие сообраенрешение Бесселя, то, вероятно, u(r) будет уменьшая
тьс с расстоянием
1r (см. (7.120)). Но сферические волны должны уменьшаться
как 1r, льнимо поделить u на r.
Решениями+
(1)
12()nHk +
(2)
12()nHk
дексомогия(7.186)
()()().=111,2nhkrHkrkr
()()().=221,nhkrHkr (7.188)
кПри

()()()+…….+….
..
111expexp,
2nnhkrititikrikr

()()+……..+…
..
211expexp.
2nnhkrititikrikr
(7.189)
Таким образом, задачеции Ханкеля первого рода
Сдо, опре-
деляет
..=….
()(1)
(1)(,,)()cos()().
()
mnmnmnnnVpricPmhkrhka
(7.190)
При проведении практических расчетов нужно приняь во внимание,
что
для всех указанных выше специальных функций (Бесселя, Ханке-
ля и другие) существуют эффективные стандартные программы вы-
числения на ЭВМ.
ссти и
…==……
()(1)
(1)
1()cos()(),
()
mnmnmnmn
n
.==…
(1)
(1)
()
.
()
nmnnmnmnpihkrchkr
(7.192)
Аредеи()
()=
=.=.*1Re2nmnmnmraSPpdS()=..22Re2nmnmraVa
()
()()()……..=..
222()
00cossinmnmdPd=..2Re,
22nmnmnmmraVSN (7.193)
здесь .0 = 1, .m = 0,5 при условии m > 0; S.
Как и для цилиндра, можно сказать, что сопротивление излучения
сферического излучателя типа nm равно (и=.()nmnmZ)=
./2nmmraSN,
гдер.nm на
п

()=.=..
(1)
(1)
(
.
()
nnmranihkchka
(7.194)
На рис. 7.27 приведены зависимости []..Renmc и []…Imnmc
от ka. Кривые подобны аналогичным кривым для цилиндра (см.
ис. 7.23). Анализ, проведенный при рассмотрении рис. 7.23, д
рв

Рис. 7.27. Зависимости ()..Re/nmc и ()…Im/nmc на поверхности сфе-
рического излучателя n0 от волнового радиуса ka
В качестве примера, который характеризует эффективность воз-
буждения разнообразных сферических волн типа nm в зависимости от
радиуса сферы, рассмотрим работу сферического излучателя, если
функция V(.,.), определяющая колебательную скорость на поверхно
с(.), сесим-
мет по-
().(1)
0.nnnAPhkr
ложить = 0, и поле излучения сферы в это учае приобретет вид
.
=
.=.(,)(
nprn()()
=
…=
…
,1raprVir,
условие
().
=
..=…(1)
01()().nnnnVAPhkaic
(7.196)

Вычиредезвуко-
вя о орто-

.+
……
.(1)
0211=()()sin.
2()
nnnnAicVPdhka
(7.197)
Успехления звукового поля зависит от сходимости ряда (7
.(1)()nhka
Коэффициенты
функции мо-
дки
()
[]+
…….(1)
21()135…(21)(1);nnhkannka

1
()
..(1)().nhkaka
(7.199)
Согласно этим оценкам можно сделать следующие выводы:
1) если ka мало, то сходимость ряда (7.195) определяется модулем
функции .(1)()nhka; если ka очень мало, то фактически все определяет
первый член ряда, т.е. оч