священный теории дифференциальных уравнений, который содер-
жит в себе и разработку методов их решения. Для тех уравнений, ко-
торые встречаются в данном разделе, решения могут быть получены
на основе довольно простых и наглядных соображений.
Уравнение (2.11) — это некоторое алгебраическое соотношение,
которое связывает значение функции и ее второй производной в лю-
бой момент времени. Поэтому решением этого уравнения может быть
функция, которая не изменяет своего вида вследствие двукратного
дифференцирования или, как говорят, является инвариантной (от
латинского слова invarians — неизменный) относительно операции
двукратного дифференцирования. Функции такого типа хорошо из-
вестны из математического анализа. Например, функция
y(t) = A exp(.t) (2.13)
имеет такое свойство относительно операции дифференцирования
любого порядка n:
y(n)(t) = A.n exp(.t).
Бесспорно, такую функцию y(t) можно использовать как пробную
для получения решения (2.11). Хорошо известно также, что тригоно-
метрические функции имеют указанное свойство относительно опера-
ции дифференцирования любого парного порядка:
1()cos(),ytAt=. 2()sin();ytBt=. (2.14)
()(2)21()1cos(),nnnytAt=… ()(2)22()1sin().nnnytBt=…
Таким образом, и тригонометрические функции могут быть ис-
пользованы как пробные, при стремлении найти решение (2.11). Рас-
смотрим процедуру получения решения с использованием функции
(2.13), т.е. предположим, что искомая функция имеет вид:
()()exp.tAt.=. (2.15)

В этом выражении есть две произвольных величины — А и ., которые
следует определить так, чтобы искомая функция удовлетворяла урав-
нению (2.11). Подставляя выражение (2.15) в (2.11), получаем
()220exp0.A…+..=.. (2.16)
Видно, что постоянная А не определяется из полученного соотноше-
ния. Что касается постоянной ., то уравнение не может быть удовле-
творено при любом действительном значении величины .. Но, допус-
кая возможность комплексных величин ., в частности, в данном слу-
чае чисто мнимых величин, легко убедиться, что (2.15) есть решение
(2.11) только в случае, если . принимает два значения:
10,i.=. .(2.17) 2i.=..
Таким образом, для исходного уравнения (2.11) найдено два решения:
()10()exp,tAit.=. ()2()exp.tBit.=.. (2.18)
Поскольку само уравнение никаких ограничений на значение множи-
теля при экспоненте не накладывает, то, конечно, в разных решениях
эти множители можно брать отличными друг от друга.
Исходное уравнение (2.11) описывает поведение реальных физи-
ческих систем. По своему физическому смыслу искомая функция ()t.
есть величина, которая измеряется. В связи с этим комплексная
форма решения, на первый взгляд, не пригодна. Но для уравнения с
действительными коэффициентами решением является отдельно
взятая действительная и мнимая части комплексного решения. По-
этому ясно, что вместо (2.18) в дальнейшем можно использовать реше-
ния вида
()()10cos,tat.=. ()()2sin,tbt.=. (2.19)
где a и b — произвольные действительные постоянные. Такая лег-
кость перехода от комплексных (не физических) к действительным
(измеряемым) величинам обуславливает очень широкое использование
в акустике комплексных изображений для искомых величин. При
этом существенно упрощаются промежуточные выкладки. Это позво-
ляет широко использовать комплексные функции при изложении ма-
териала.
Выражения (2.19) представляют собой два конкретные частные
решения исходного уравнения. Вследствие линейности уравнения его
решением будет любая линейная комбинация частных решений, т.е.
()()()0cossin.tatbt.=.+. (2.20)

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что любое ча-
стное решение уравнения (2.11) может быть получено из выражения
(2.20) выбором конкретных значений величин a и b. Именно поэтому
его называют общим решением дифференциального уравнения (2.11).
С физической точки зрения такое математическое утверждение ука-
зывает на то, что выбором значений a и b можно описать движение
механической или электрической системы при любых начальных ус-
ловиях. В справедливости этого легко убедиться.
Если в (2.20) задать начальные условия для ., как в (2.12), то мож-
но легко найти значение постоянных a и b, и решение будет иметь
вид
00000()cos()sin().tt..=..+..
(2.21)
Этому решению можно придать более удобное представление
00()cos(),tAt.=.+. (2.22)
где
22000,A…=.+…..
00cos,
A..= 000sin.
A..=.
.

Соответственно скорость осциллятора будет иметь вид
0()00sin().tAt.=…+… (2.23)
Таким образом, решение уравнения (2.11), описывающего поведе-
ние гармоничного осциллятора, получено. Решена достаточно простая
задача динамики — известно состояние системы в определенный мо-
мент времени, если известны начальные условия ее движения.

Рис. 2.3. График гармонического колебания

Колебания, которые определяются функцией синуса или косинуса,
называются гармоничными (от греческого слова ……… — созвуч-
ный). Итак, движение системы (2.11) — это простое гармоничное ко-

лебание (рис. 2.3). В теории колебаний, как части физической акусти-
ки, почти не интересуются такими локальными вопросами: где в дан-
ный момент находится система. Более важным вопросом является
определение интегральных характеристик движения колебаний сис-
темы.
В решении (2.22) такими интегральными характеристиками есть
три величины — амплитуда колебаний (А), угловая частота (.0) и на-
чальная фаза (.0). Функция ()0tt.=.+. называется фазой колеба-
ния. В соответствии с выражением (2.22) начальная фаза .0 опреде-
ляет сдвиг фазы данного колебания относительно колебания, которое
началось при нулевой начальной скорости (.0 = 0). Частоту .0 назы-
вают собственной частотой осциллятора.
Фаза колебаний ()0tt.=.+. возрастает неограниченно со временем.
Тем не менее, поскольку функции синуса и косинуса являются периодиче-
скими функциями с периодом 2., то две фазы, которые различаются на
2., отвечают одному и потому же физическому состоянию колеба-
тельной системы. Поэтому часто, для удобства, изменение фазы опре-
деляют от 0 до 2.. Поскольку производная ()0t..=., то понятно, что
угловая частота . 0 определяет скорость изменения фазы колебаний со
временем (2.22).
Движение в соответствии с (2.22) является периодическим, т.е.
система возвращается в любое из возможных состояние после некото-
рого промежутка времени Т (рис. 2.3). Величина этого временного па-
раметра, который называют периодом колебаний, определяется из
равенства, вытекающего из свойств тригонометрических функций:
02T.=., с–1,
02,T.=
.
с. (2.24)

Рис. 2.4. Пример гармонического колебания на плоскости переменных . и
0….

Поскольку переменные .(t) и ()t…
полностью описывают поведение
осциллятора, то их можно определить как координаты декартовой
системы координат (),….
()t… Тогда с изменением времени точка на плос-
кости вычерчивает некоторую линию. Понятно, что, когда коле-
бания периодические, то кривая будет замкнутой. Имея выражения