примере очень простого источника звука, который состоит из двух
монополей.
Отдельный точечный источник излучает сферическую волну (7.31),
амплитуда которой зависит от расстояния, но не зависит от направ-
ления. Итак, точечный источник не имеет направленности. Возьмем
излучатель из двух синфазных точечных источников равной произво-
дительности, расположенных на расстоянии d один от другого (рис.
7.8), и назовем его синфазной парой. Совместим с левым монополем
(понятно, что можно и с правым) начало сферических координат.
Угол . отсчитывается от оси Oz, а угол . — в плоскости, перпендику-
лярной к этой оси. Окружив излучатель сферой радиуса r, будем рас-
сматривать амплитуду давления в точках, которые лежат на сфере,
под разными углами . и .. Можно сразу заметить, что звуковое поле,
а, следовательно, и характеристика направленности излучателя не
зависят от угла ., т.е. R(., .) . R(.).

Рис. 7.8. Пример синфазной пары монополей

Звуковое давление в точке наблюдения М определяется суперпо-
зицией двух сферических волн, которые излучаются монополями:
()()=……..0011expexp.
44VVpiikriikrrr
(7.35)
Временной множитель ..exp(it писать не будем. Представим (7.35) в
виде
()()()..=.+…111expexp,piikrAAikrr (7.36)
где

..=
.04VAr,
..=
.011.4VAr
(7.37)
Определим амплитуду давления в точке наблюдения М:
.==++22112cospppAAAA (7.38)

здесь * — знак комплексного сопряжения, а
.=.1()krr (7.39)
определяет сдвиг фазы между звуковыми давлениями волн в точке М.
Согласно геометрии задачи расстояние r1 от правого монополя к точ-
ке М (рис. 7.8) в сферических координатах r, . определяется по фор-
муле
=+..2212cos.rrdrd (7.40)
Таким образом, если зафиксировать расстояние от начала систе-
мы координат до точки наблюдения М, то, как видим, от угла . зави-
сят сдвиг фаз . и амплитуда А1, а следовательно, и амплитуда сум-
марного давления. Перемещение точки М по окружности приводит к
изменению амплитудно-фазовых соотношений между интерфери-
рующими волнами, а соответственно, и к изменению результата ин-
терференции — амплитуды суммарного давления. Понятно, что и в
общем случае, когда излучатель состоит из большого количества ис-
точников, направленность объясняется интерференцией волн.
r
Характер изменений амплитуды суммарного давления при пере-
мещении точки М вдоль окружности можно понять, проанализировав
(7.38). Начинаем от точки, расположенной под углом . = 90°, и будем
двигаться вдоль окружности к точке . = 0° (рис. 7.8). Амплитудно-
фазовые соотношения будут изменяться следующим образом. Сдвиг
по фазе . = k(r – r1) = 2.(r – r1)/. увеличивается от 0 до максимального
значения 2.d/.. Если d << ., то . для всех . близко к нулю и, следо-
вательно, фазовые соотношения остаются практически неизменны-
ми. Как следствие, амплитуда давления для всех значений . является
суммой амплитуд двух волн. Если d >., то изменение сдвига фаз
очень существенно. Можно выделить такие направления (такие .),
вдоль которых разность хода волн (r – r1) кратна длине волны и, сле-
довательно, . кратно 2.. Количество этих направлений равно целой
части отношения d/.. Между ними будут направления, для которых .
равно нечетному числу .. В направлениях первого типа суммируются
синфазные колебания (при этом амплитуды складываются), а в на-
правлениях второго типа — противофазные колебания (амплитуды
вычитаются). Итак, двигаясь вдоль окружности, можно наблюдать
минимумы и максимумы амплитуды колебаний.
Если перенести точку наблюдения на окружность другого радиуса,
то снова будут наблюдаться минимумы и максимумы, но под другими
углами, поскольку согласно (7.39) сдвиг фаз . = k(r – r1) зависит не
только от ., но и от r. Зависимость амплитуды A1 . 1/r1 от ., как сле-
дует из (7.40), также неодинакова на разных расстояниях: она тем бо-

лее существенна, чем меньше расстояние r. Наоборот, при увеличении
r по сравнению с величиной d, разность расстояний r и r1 и амплитуд
A и A1 становится все менее существенной при изменении угла .. Так,
если r = 100d, то амплитуда A отличается от A1 не более, чем на 0,5 %.
Понятно, что такие особенности оказывают влияние на расчет харак-
теристики направленности на разных расстояниях от источника зву-
ка. Например, на рис. 7.9 приведены диаграммы направленности
Rp(.), когда точка наблюдения находится на расстоянии r/. = 3 (кри-
вая 1), r/. = 15 (кривая 2) и r/. = 100 (кривая 3), от пары монополей,
которые наглядно иллюстрируют приведенные выше соображения.
Возникает вопрос, как ликвидировать эту неоднозначность в опреде-
лении характеристики направленности.

Рис. 7.9. Характеристики направленности пары синфазных монополей, r/.:
1 — 3, 2 — 15, 3 — 100; d/. = 2,25

Перепишем (7.40) в виде
..=+…
..
2121cddrrrr
(7.41)
Пусть точка наблюдения находится на расстоянии r >> d, тогда сла-
гаемым (d/r)2 можно пренебречь по сравнению с единицей:
=..112cos.drrr
(7.42)
Далее, приняв во внимание, что d/r << 1, выражение для r1 следует
записать в виде ряда:

......=....+..
......
22111coscos....
2ddrrrr
(7.43)
Таким образом, разность хода волн .r = r – r1 определяется рядом:

.=.=.+.+
2211coscos...
2drrrdr
(7.44)
Формула (7.43) позволяет понять, что на довольно больших по сравне-
нию с размером излучателя расстояниях (r >> d) амплитудные множи-
тели A и A1 (7.37) становятся практически одинаковыми и независи-
мыми от угла .. Итак, при r >> d можно записать

..==
.01.4VAAr
(7.45)
Тогда выражение (7.38) для амплитуды давления в точке наблюдения
упрощается:

…=+.=.02(1cos)cos.
22VpAr
(7.46)
Теперь обратим внимание на разность фаз .. В фазе колебаний (7.39)
сделать замену в формуле (7.42) корня квадратного на единицу нель-
зя, ведь для фазы существенны не относительные, а абсолютные по-
грешности. Поэтому условия d/r >> 1 в общем случае недостаточно и
следует обратиться к (7.44). Отсюда разность фаз . определяется ря-
дом:
.=.=.+.+
221coscos….
2kdkrkdr
(7.47)
Выражение (7.47) позволяет сделать вывод: разность фаз между дав-
лениями волн от обоих монополей в точке наблюдения можно считать
такой, что не зависит от расстояния, если выполняется второе усло-
вие:

22kdr
<< . или иначе
.2dr<< 1. (7.48)
При выполнении этого условия можно определить разность хода волн:
.=.cosrd (7.49)
и фазовый сдвиг между давлениями волн в точке наблюдения:
.=.=.cos.krkd (7.50)
Тогда формула для амплитуды давления (7.46) примет вид

….=……
0coscos.
22Vkdpr
(7.51)

Понятно, что |p|max определяется при . = 90°. Отсюда согласно опре-
делению (7.33) получаем выражение для характеристики направлен-
ности пары синфазных монополей:
()…..==.=……….=..
()
coscoscoscos.
2(90)
pkddRp
(7.52)
Подобные соображения можно повторить и для излучающей сис-
темы, которая имеет произвольное число монополей, причем несуще-
ственно, будут ли одинаковыми амплитуды и фазы объемных скоро-