бы записать уравнение движения для систем, приведенных на
рис. 2.1 (кроме последней), воспользуемся вторым законом Ньютона..
Для первой, третьей и четвертой систем соответствующее векторное
соотношение записывается в проекции на ось Ox. При этом для пер-
вой и четвертой систем (рис. 2.1, а, г) имеем выражение
0,mxKx+=…. (2.3)
а для третьей (рис. 2.1, в) следующее:
20lxgx.+.=….
Для математического маятника (рис. 2.1, д) восстанавливающая сила
равна проекции силы тяжести на касательную к траектории движе-
ния шарика. Поэтому соотношение, отражающее второй закон Нью-
тона, примет вид
sin0.mlmg.+.=…. (2.4)
Закон сохранения момента количества движения для колебательной
системы, приведенной на рис. 2.1, б, запишем следующим образом:
0,IG.+.=…. (2.5)
где I — момент инерции диска относительно вертикальной оси, кг . м2.
Используя закон Кирхгоффа. для электрического контура, представлен-
ного на рис. 2.1, е, приходим к соотношению
10,LqqC+=…. (2.6)
где размерности L, Гн, и C, Ф. Все полученные соотношения (2.3)—
(2.5) содержат в себе как искомые функции, так и их производные,
т.е. это — дифференциальные уравнения. В уравнения (2.3), (2.5) и

(2.6) функции и производные входят линейно, что и отражено в вы-
ражении “линейные дифференциальные уравнения”. В формулу (2.4)
искомая функция входит нелинейно (sin.). Разница в поведении ме-
ханических систем, которые описываются линейными и нелинейными
уравнениями, очень велика. Суть, причина и содержание этих урав-
нений в определенной степени раскрываются в разделе 11. Но уже в
данном параграфе можно четко проследить причину возникновения
нелинейности. Математический маятник — это единственная из рас-
сматриваемых систем, для которой написание математического соот-
ношения, отражающего связь между отклонением системы от поло-
жения равновесия и восстанавливающей силой, не требует предполо-
жений, упрощающих и идеализирующих источник колебаний. Нели-
нейность (2.4) исчезает, если предположить малость отклонений от по-
ложения равновесия, аналогично тому, как это сделано при описании
других систем, приведенных на рис. 2.1.
Представим функцию sin. в виде ряда

35sin…
3!5!
…=..+. (2.7)
Если анализ задачи и требуемая точность решения позволяет пренеб-
речь слагаемыми с третьей и высшими степенями ., то sin. . ., и
уравнение (2.4), принявшее вид
0lg.+.=…., (2.8)
будет аналогично уравнениям для других рассмотренных систем.
При этом можно сказать, что в случае малых отклонений от поло-
жения равновесия движение математического маятника описыва-
ется линейным дифференциальным уравнением.
Заметим, что можно привести примеры моделей колебательных
систем, которые являются нелинейными даже при малых отклонениях
системы от положения равновесия. Рассмотрим, например, систему,
приведенную на рис. 2.2. Здесь оба конца витой пружины зафикси-
рованы на определенном расстоянии один от другого, а масса m
прикреплена к центру пружины; К — жесткость пружины. Поскольку
масса двигается вдоль оси Ox, то восстанавливающая сила FB(x) равна
проекции силы упругости пружины F на ось Ox. Силой тяжести, кото-
рая действует на массу m, будем пренебрегать (она не вносит вклад в
восстанавливающую силу).
l
В соответствии с рис. 2.2 деформация пружины . определяется
соотношением: ()2202/2lx.=+, где l0 — длина пружины в неде-
формированном состоянии. Тогда потенциальная энергия системы ЕП
выражается соотношением

2222П0()2.222KKlEx……..==+…….
..

Рис. 2.2. Пример нелинейной колебательной системы

(Напомним, что потенциальная энергия ЕП пружины определяется работой
против силы упругости, т.е.
.2П02EKdK=..=…) Учитывая связь между
потенциальной энергией и восстанавливающей силой, действующей вдоль
оси Ох, находим выражение для этой силы:
()ПВdEFxdx=.=
()
..
……
+….
0214112/
lKxlxl
(2.9)
Разложим это выражение в ряд в окрестности малых значений вели-
чины (x/l) < 1:
()()
35В00483xxxFxKllKllll……..=….+….
……..
(2.10)
Если х << l, то, конечно, можно пренебречь высокими степенями x/l, и
считать силу линейной относительно х. Тем не менее, если длина не-
деформированной пружины l0 равна расстоянию l между крепления-
ми, то линейный член исчезает, и даже для малой величины x восста-

навливающая сила пропорциональна кубу смеще-
ния.
()32В8/FxKxl..
Следует сказать, что наличие линейной зависимости восстанавли-
вающей силы при малых колебаниях системы является, как говорят,
типичной в природе. Поэтому в начале будем рассматривать именно
такие колебания. После деления (2.3), (2.5), (2.6) и (2.8) на коэффици-
ент при второй производной становится очевидным, что для всех слу-
чаев коэффициент при обобщенной координате имеет размерность:
единица, деленная на секунду в квадрате. Это дает возможность сде-
лать вывод о том, что закономерности изменения во времени обоб-
щенных координат для всех рассматриваемых систем (рис. 2.1) пол-
ностью идентичны, и для их изучения можно ввести некоторую новую
математическую модель, которая охватывает все рассмотренные час-
тичные физические модели. Дифференциальное уравнение этой ма-
тематической модели имеет вид
200,.+..=…. (2.11)
где размерность . 0, с–1.
Понятно, что дальнейшее движение системы определяется ее на-
чальным состоянием, или, как говорят, начальными условиями, кото-
рые записывают для некоторого момента времени t, пусть это будет
t = 0. Начальные условия, очевидно, обусловлены заданием начальных
обобщенных координат смещения и скорости:
.(0) = .0, 0(0)..=… (2.12)
Такая математическая модель получила название гармоничного ос-
циллятора (от латинского слова oscillo — колеблюсь). Суть этого на-
звания становится понятной при анализе решения уравнения (2.11).
Задание именно двух начальных условий (2.12) легко понять с фи-
зической точки зрения. Предположим мы хотим знать состояние ос-
циллятора в некоторый момент времени. Для этого нам недостаточно
знать смещение ., ведь в дальнейшем оно может, как увеличиваться,
так и уменьшаться. Необходимо также знать скорость осциллятора
в тот же момент времени. Таким образом, поведение осциллятора
полностью описывается эволюцией во времени двух величин .(t) и
.
…
()t…
Пример 2.1. Начальные условия для математического маятника
таковы: , ()00.=… Определить максимальное значение угла
при условии учета только линейного члена в ряде (2.7). Считать,
что второй член ряда (2.7) меньше первого минимум в десять раз.
0.

Решение. Согласно условию ; отсюда, максимальный
угол отклонения маятника равен .
()300/60,1..=
044….
2.1.3. Гармонический осциллятор
Уравнение (2.11) описывает закономерности движения,
общие для многих электрических и механических систем. Для кон-
кретного изучения этих закономерностей необходимо найти решение
этого уравнения и привести его в соответствие с заданными началь-
ными условиями. В математике существует специальный раздел, по-