Д’Аламбера обычно называют первым, кто получил (1747) дифференциальное уравнение колеблющейся струны в той форме, в которой его обычно записывают теперь. Д’Аламбер нашел общее решение этого знаменитого волнового уравнения в виде волн, бегущих в разных направлениях по струне.

Д. Бернулли в «Ученых записках» Берлинской академии наук опубликовал теоретическое объяснение гармоник струны. Он показал, что возможно одновременное колебание многих независимых частей струны, дающих множество простых гармонических колебаний. Перемещение же отдельных точек струны есть алгебраическая сумма перемещений, соответствующих простым гармоническим составляющим. Здесь Бернулли выдвигает и обосновывает принцип одновременного сосуществования малых колебаний, не влияющих друг на друга,— так называемый принцип «суперпозиции». Надо сказать, что этот плодотворный принцип не сразу нашел признание даже у выдающихся математиков.

Свой путь решеия задачи о колебании струны предложил в 1759 году Лагранж в солидной статье, адресованной Туринской академии. Лагранж представил струну состоящей из конечного числа частиц с одинаковой массой, находящихся на одинаковых друг от друга расстояниях и связанных общей нитью. Лагранж находит сначала колебания этих нескольких участков струны и затем получает решение при произвольно большом числе участков.

Множество противоречивых теорий колебаний струн выдвигалось математиками XVIII века, множество мнений сталкивалось при обсуждении этих вопросов, и, к сожалению, споры таких выдающихся математиков, как Бернулли, Д’Аламбер, Эйлер и Лагранж, относительно природы решений дифференциальных уравнений для струн выливались на страницах научных журналов иногда в резкие выпады друг на друга, в грубую клевету. Каждый из них защищал свою точку зрения и не всегда беспристрастно рассматривал теорию противника.

Но как бы то ни было, в результате ожесточенных споров был заложен фундаменттех методов математической физики, с помощью которых сейчас во всем мире очень интенсивно изучают и рассчитывают музыкальные инструменты.

Исследования колебаний струн занимали видное место в теоретических работах ученых XVIII века, но проблемы колебаний других источников музыкальных звуков также не оставались без внимания. Выше уже говорилось, что Ньютон рассчитывал длины волн, излучаемых трубами. Эти расчеты основывались, между прочим, на экспериментальных работах Савера.

В своих мемуарах (1700—1707) Савер рассматривает явление биений, возникающих при одновременном звучании двух органных труб, лишь незначительно отличающихся по частоте. Само явление биений было давно хорошо известно конструкторам органов, но заслуга Савера в том, что он указал на важность наблюдаемого явления и на его основе и истолковании разработал метод определения числа колебаний.

Биения органных труб, как объяснял Савер, возникают от того, что колебания двух близких по высоте труб периодически совпадают и расходятся. Например, если частота одного звука трубы 32 колебания в сек., а частота звука второй трубы — 40 колебаний в сек., то конец пятого колебания первой трубы (32 X 5 = 160) совпадает с концом четвертого колебания второй трубы (40 X 4 = 160). В этом случае происходит усиление суммарного колебания, то есть возникает биение. Савер установил, что частота биений равна разнице частот органных труб, и с помощью этого наблюдения вывел свой метод расчета частоты неизвестного колебания, когда известна частота одного звука и число биений в секунду при одновременном звучании двух тонов.

Открыв метод, Савер нашел ему и практическое применение: с его помощью он пытался определять границы восприятия частоты колебаний человеческим ухом. По его измерениям частота самых низких звуков, слышимых человеком, равна 25 колебаниям в сек., а самых высоких — 12 800. Эти пределы еще долгое время будут уточняться.